Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdin 35969
 Description: Subspace intersection is preserved by the map defined by df-mapd 35932. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdin.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdin.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdin.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdin.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdin.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdin.x (𝜑𝑋𝑆)
mapdin.y (𝜑𝑌𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdin (𝜑 → (𝑀‘(𝑋𝑌)) = ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))

Proof of Theorem mapdin
StepHypRef Expression
1 inss1 3795 . . . 4 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
2 mapdin.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdin.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdin.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdin.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdin.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
72, 3, 6dvhlmod 35417 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
8 mapdin.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
9 mapdin.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑆)
104lssincl 18786 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆)
117, 8, 9, 10syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆)
122, 3, 4, 5, 6, 11, 8mapdord 35945 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑀𝑋) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋))
131, 12mpbiri 247 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑀𝑋))
14 inss2 3796 . . . 4 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
152, 3, 4, 5, 6, 11, 9mapdord 35945 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑀𝑌) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌))
1614, 15mpbiri 247 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑀𝑌))
1713, 16ssind 3799 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋𝑌)) ⊆ ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))
18 eqid 2610 . . . . 5 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
19 eqid 2610 . . . . . . 7 (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
202, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 8mapdcl2 35963 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
212, 5, 18, 19, 6mapdrn2 35958 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2220, 21eleqtrrd 2691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ ran 𝑀)
232, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 9mapdcl2 35963 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2423, 21eleqtrrd 2691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ ran 𝑀)
252, 5, 3, 18, 6, 22, 24mapdincl 35968 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ∈ ran 𝑀)
262, 5, 6, 25mapdcnvid2 35964 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))
27 inss1 3795 . . . . . . 7 ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ⊆ (𝑀𝑋)
2826, 27syl6eqss 3618 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀𝑋))
292, 18, 6lcdlmod 35899 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
3019lssincl 18786 . . . . . . . . . 10 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ (𝑀𝑋) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝑀𝑌) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
3129, 20, 23, 30syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ∈ (LSubSp‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
3231, 21eleqtrrd 2691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ∈ ran 𝑀)
332, 5, 3, 4, 6, 32mapdcnvcl 35959 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ∈ 𝑆)
342, 3, 4, 5, 6, 33, 8mapdord 35945 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀𝑋) ↔ (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ 𝑋))
3528, 34mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ 𝑋)
362, 5, 6, 32mapdcnvid2 35964 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) = ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))
37 inss2 3796 . . . . . . 7 ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ⊆ (𝑀𝑌)
3836, 37syl6eqss 3618 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀𝑌))
392, 3, 4, 5, 6, 33, 9mapdord 35945 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀𝑌) ↔ (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ 𝑌))
4038, 39mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ 𝑌)
4135, 40ssind 3799 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ (𝑋𝑌))
422, 3, 4, 5, 6, 33, 11mapdord 35945 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀‘(𝑋𝑌)) ↔ (𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌))) ⊆ (𝑋𝑌)))
4341, 42mpbird 246 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))) ⊆ (𝑀‘(𝑋𝑌)))
4426, 43eqsstr3d 3603 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)) ⊆ (𝑀‘(𝑋𝑌)))
4517, 44eqssd 3585 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑋𝑌)) = ((𝑀𝑋) ∩ (𝑀𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ◡ccnv 5037  ran crn 5039  ‘cfv 5804  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  LCDualclcd 35893  mapdcmpd 35931 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655  df-djh 35702  df-lcdual 35894  df-mapd 35932 This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  36038  mapdh6lem1N  36040  mapdh6lem2N  36041  hdmap1l6lem1  36115  hdmap1l6lem2  36116
 Copyright terms: Public domain W3C validator