Theorem lshpnelb 33289

Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnelb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnelb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnelb.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnelb.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnelb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpnelb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpnelb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpnelb	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnelb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnelb.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
2		lshpnelb.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lshpnelb.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lshpnelb.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lshpnelb.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7		lshpnelb.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lveclmod 18927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10	2, 3, 4, 5, 6, 9	islshpsm 33285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
11	1, 10	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
12	11	simp3d 1068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
14		simp1l 1078	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝜑)
15		simp2 1055	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
16	4	lsssssubg 18779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
18	4, 6, 9, 1	lshplss 33286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	17, 18	sseldd 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20		lshpnelb.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	2, 4, 3	lspsncl 18798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	9, 20, 21	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	17, 22	sseldd 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	5	lsmub1 17894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
25	19, 23, 24	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
27	5	lsmub2 17895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
28	19, 23, 27	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
29	2, 3	lspsnid 18814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	9, 20, 29	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31	28, 30	sseldd 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
32		nelne1 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
33	31, 32	sylan 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
34	33	necomd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
35		df-pss 3556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑈 ≠ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
36	26, 34, 35	sylanbrc 695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
37	36	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
38	4, 5	lsmcl 18904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
39	9, 18, 22, 38	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
40	2, 4	lssss 18758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
43		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
44	42, 43	sseqtr4d 3605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
45	44	adantlr 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
46	45	3adant2 1073	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
47	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
48	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
49	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
50		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
51	2, 4, 3, 5, 47, 48, 49, 50	lsmcv 18962	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
52	14, 15, 37, 46, 51	syl211anc 1324	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
53		simp3 1056	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
54	52, 53	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
55	54	rexlimdv3a 3015	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
56	13, 55	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
57	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
58	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
59	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
60		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
61	2, 3, 5, 6, 57, 58, 59, 60	lshpnel 33288	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
62	56, 61	impbida 873	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LSHypclsh 33280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lshyp 33282

This theorem is referenced by:  lshpnel2N  33290  l1cvpat  33359  dochexmidat  35766