Theorem l1cvpat 33359

Description: A subspace covered by the set of all vectors, when summed with an atom not under it, equals the set of all vectors. (1cvrjat 33779 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
l1cvpat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
l1cvpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvpat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
l1cvpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
l1cvpat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
l1cvpat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvpat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
l1cvpat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
l1cvpat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)

Proof of Theorem l1cvpat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l1cvpat.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
2		l1cvpat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		l1cvpat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		l1cvpat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 33296	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		l1cvpat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
11		eldifi 3694	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑣 ∈ 𝑉)
12		l1cvpat.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13		lveclmod 18927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15	14	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LMod)
16		l1cvpat.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18		simp2 1055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ 𝑉)
19	3, 12, 4, 15, 17, 18	lspsnel5 18816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
20	19	notbid 307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
21		l1cvpat.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
23	2	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
24		l1cvpat.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
25		l1cvpat.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
26	3, 12, 22, 25, 2	islshpcv 33358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
27	16, 24, 26	mpbir2and 959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
28	27	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
29	3, 4, 21, 22, 23, 28, 18	lshpnelb 33289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
30	29	biimpd 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
31	20, 30	sylbird 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
32		sseq1 3589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
33	32	notbid 307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
34		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
35	34	eqeq1d 2612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
36	33, 35	imbi12d 333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
37	36	3ad2ant3 1077	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
38	31, 37	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))
39	38	3exp 1256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))))
40	11, 39	syl5 33	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))))
41	40	rexlimdv 3012	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)))
42	9, 10, 41	mp2d 47	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LSAtomsclsa 33279  LSHypclsh 33280   ⋖_L clcv 33323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324

This theorem is referenced by:  l1cvat  33360