MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmpr Structured version   Unicode version

Theorem lsmpr 17294
Description: The span of a pair of vectors equals the sum of the spans of their singletons. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmpr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmpr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmpr.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmpr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsmpr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsmpr.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsmpr  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )

Proof of Theorem lsmpr
StepHypRef Expression
1 lsmpr.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsmpr.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
32snssd 4127 . . 3  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
4 lsmpr.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
54snssd 4127 . . 3  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
6 lsmpr.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lsmpr.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
86, 7lspun 17192 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V  /\  { Y }  C_  V
)  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `
 ( ( N `
 { X }
)  u.  ( N `
 { Y }
) ) ) )
91, 3, 5, 8syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
10 df-pr 3989 . . . 4  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
1110fveq2i 5803 . . 3  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( N `
 ( { X }  u.  { Y } ) ) )
13 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
146, 13, 7lspsncl 17182 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
151, 2, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
166, 13, 7lspsncl 17182 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
171, 4, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
18 lsmpr.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1913, 7, 18lsmsp 17291 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { X }
)  .(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
201, 15, 17, 19syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
219, 12, 203eqtr4d 2505 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3435    C_ wss 3437   {csn 3986   {cpr 3988   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   LSSumclsm 16255   LModclmod 17072   LSubSpclss 17137   LSpanclspn 17176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-subg 15798  df-cntz 15955  df-lsm 16257  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177
This theorem is referenced by:  lsppreli  17295  lsmelpr  17296  lsppr0  17297  lspprabs  17300  lspabs2  17325  lspindpi  17337  lsmsat  32992  dvh4dimlem  35427  dvh3dim3N  35433  lclkrlem2c  35493  lcfrlem20  35546  lcfrlem23  35549  mapdindp  35655  mapdindp2  35705  mapdindp4  35707  mapdh6dN  35723  lspindp5  35754  hdmap1l6d  35798  hdmaprnlem3eN  35845
  Copyright terms: Public domain W3C validator