Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp2 36028
 Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp2 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))

Proof of Theorem mapdindp2
StepHypRef Expression
1 preq2 4213 . . . . . 6 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → {𝑋, (𝑌 + 𝑍)} = {𝑋, 0 })
21fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝑌 + 𝑍) = 0 → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑋, 0 }))
3 mapdindp1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 mapdindp1.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
5 mapdindp1.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6 mapdindp1.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 18927 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
9 mapdindp1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3552 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
113, 4, 5, 8, 10lsppr0 18913 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 0 }) = (𝑁‘{𝑋}))
122, 11sylan9eqr 2666 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑋}))
13 mapdindp1.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3552 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
15 prssi 4293 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
1610, 14, 15syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
17 snsspr1 4285 . . . . . . 7 {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌})
193, 5lspss 18805 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ {𝑋, 𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
208, 16, 18, 19syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2120adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2212, 21eqsstrd 3602 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
23 mapdindp1.f . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2423adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2522, 24ssneldd 3571 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) = 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
2623adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
27 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
286adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
299adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3013adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31 mapdindp1.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3231adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33 mapdindp1.W . . . . . . 7 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 mapdindp1.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
3635adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
37 mapdindp1.ne . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
3837adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
39 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
403, 27, 4, 5, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 26, 39mapdindp0 36026 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
4140oveq2d 6565 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
42 eqid 2610 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
4331eldifad 3552 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
443, 27lmodvacl 18700 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
458, 14, 43, 44syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
463, 5, 42, 8, 10, 45lsmpr 18910 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
4746adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
483, 5, 42, 8, 10, 14lsmpr 18910 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
4948adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
5041, 47, 493eqtr4d 2654 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5126, 50neleqtrrd 2710 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
5225, 51pm2.61dane 2869 1 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑌 + 𝑍)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924 This theorem is referenced by:  mapdh6dN  36046  hdmap1l6d  36121
 Copyright terms: Public domain W3C validator