Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvspi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvspi 22764
 Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s · = ( ·𝑠𝑊)
ncvsdif.p + = (+g𝑊)
ncvspi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ncvspi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ncvspi ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))

Proof of Theorem ncvspi
StepHypRef Expression
1 elin 3758 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2 nvcnlm 22310 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
3 nlmngp 22291 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
61, 5sylbi 206 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
763ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
8 nvclmod 22312 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LMod)
9 lmodgrp 18693 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ Grp)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
121, 11sylbi 206 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Grp)
13123ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
14 simp2l 1080 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐴𝑉)
15 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
1615cvsclm 22734 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
171, 16simplbiim 657 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
18173ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
19 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → i ∈ 𝐾)
20 simp2r 1081 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐵𝑉)
21 ncvsprp.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
22 ncvspi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
23 ncvsprp.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
24 ncvspi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
2521, 22, 23, 24clmvscl 22696 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑉) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
2618, 19, 20, 25syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (i · 𝐵) ∈ 𝑉)
27 ncvsdif.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
2821, 27grpcl 17253 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
2913, 14, 26, 28syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉)
30 ncvsprp.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝑊)
3121, 30nmcl 22230 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
327, 29, 31syl2anc 691 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3332recnd 9947 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
3433mulid2d 9937 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
35 ax-icn 9874 . . . . . 6 i ∈ ℂ
3635absnegi 13987 . . . . 5 (abs‘-i) = (abs‘i)
37 absi 13874 . . . . 5 (abs‘i) = 1
3836, 37eqtri 2632 . . . 4 (abs‘-i) = 1
3938oveq1i 6559 . . 3 ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
40 simp1 1054 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
4122, 24clmneg 22689 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((invg𝐹)‘i))
4216, 41sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i = ((invg𝐹)‘i))
4322clmfgrp 22679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 ∈ Grp)
4416, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝐹 ∈ Grp)
45 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝐹) = (invg𝐹)
4624, 45grpinvcl 17290 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Grp ∧ i ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
4744, 46sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘i) ∈ 𝐾)
4842, 47eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
4948ex 449 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂVec → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
501, 49simplbiim 657 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → (i ∈ 𝐾 → -i ∈ 𝐾))
5150imp 444 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
52513adant2 1073 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → -i ∈ 𝐾)
5321, 30, 23, 22, 24ncvsprp 22760 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -i ∈ 𝐾 ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
5440, 52, 29, 53syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
5521, 22, 23, 24, 27clmvsdi 22700 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾𝐴𝑉 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑉)) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
5618, 52, 14, 26, 55syl13anc 1320 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))))
5735, 35mulneg1i 10355 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = -(i · i)
58 ixi 10535 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
5958negeqi 10153 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
60 negneg1e1 11005 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
6159, 60eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 -(i · i) = 1
6257, 61eqtri 2632 . . . . . . . . 9 (-i · i) = 1
6362oveq1i 6559 . . . . . . . 8 ((-i · i) · 𝐵) = (1 · 𝐵)
6421, 22, 23, 24clmvsass 22697 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-i ∈ 𝐾 ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑉)) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
6518, 52, 19, 20, 64syl13anc 1320 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · i) · 𝐵) = (-i · (i · 𝐵)))
66 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
6717, 66anim12i 588 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉))
68673adant3 1074 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉))
6921, 23clmvs1 22701 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7068, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7163, 65, 703eqtr3a 2668 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (i · 𝐵)) = 𝐵)
7271oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + (-i · (i · 𝐵))) = ((-i · 𝐴) + 𝐵))
73 clmabl 22677 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
7416, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ Abel)
751, 74simplbiim 657 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ Abel)
76753ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
7721, 22, 23, 24clmvscl 22696 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -i ∈ 𝐾𝐴𝑉) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
7818, 52, 14, 77syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · 𝐴) ∈ 𝑉)
7921, 27ablcom 18033 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (-i · 𝐴) ∈ 𝑉𝐵𝑉) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
8076, 78, 20, 79syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((-i · 𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
8156, 72, 803eqtrd 2648 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (-i · (𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐵 + (-i · 𝐴)))
8281fveq2d 6107 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(-i · (𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
8354, 82eqtr3d 2646 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
8439, 83syl5eqr 2658 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (1 · (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
8534, 84eqtr3d 2646 1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-i · 𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816  ici 9817   · cmul 9820  -cneg 10146  abscabs 13822  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  Abelcabl 18017  LModclmod 18686  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192  NrmModcnlm 22195  NrmVeccnvc 22196  ℂModcclm 22670  ℂVecccvs 22731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nlm 22201  df-nvc 22202  df-clm 22671  df-cvs 22732 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator