Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincvalsng 41999
Description: The linear combination over a singleton. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsn.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsn.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lincvalsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
lincvalsng ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))

Proof of Theorem lincvalsng
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑀 ∈ LMod)
2 simp2 1055 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑉𝐵)
3 lincvalsn.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
54fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
63, 5eqtri 2632 . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
76eleq2i 2680 . . . . . 6 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
87biimpi 205 . . . . 5 (𝑌𝑅𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
983ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
10 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V)
12 eqid 2610 . . . . 5 {⟨𝑉, 𝑌⟩} = {⟨𝑉, 𝑌⟩}
1312mapsnop 41916 . . . 4 ((𝑉𝐵𝑌 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉}))
142, 9, 11, 13syl3anc 1318 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉}))
15 snelpwi 4839 . . . . 5 (𝑉 ∈ (Base‘𝑀) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16 lincvalsn.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
1715, 16eleq2s 2706 . . . 4 (𝑉𝐵 → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18173ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
19 lincval 41992 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ {⟨𝑉, 𝑌⟩} ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 {𝑉}) ∧ {𝑉} ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
201, 14, 18, 19syl3anc 1318 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
21 lmodgrp 18693 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
22 grpmnd 17252 . . . . 5 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
24233ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑀 ∈ Mnd)
25 fvsng 6352 . . . . . 6 ((𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
26253adant1 1072 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉) = 𝑌)
2726oveq1d 6564 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉))
28 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
2916, 4, 28, 3lmodvscl 18703 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑅𝑉𝐵) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
30293com23 1263 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (𝑌( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
3127, 30eqeltrd 2688 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
32 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉))
33 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉𝑣 = 𝑉)
3432, 33oveq12d 6567 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
3516, 34gsumsn 18177 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉𝐵 ∧ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
3624, 2, 31, 35syl3anc 1318 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ {𝑉} ↦ (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉))
37 lincvalsn.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑀)
3837eqcomi 2619 . . . 4 ( ·𝑠𝑀) = ·
3938a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ( ·𝑠𝑀) = · )
40 eqidd 2611 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → 𝑉 = 𝑉)
4139, 26, 40oveq123d 6570 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → (({⟨𝑉, 𝑌⟩}‘𝑉)( ·𝑠𝑀)𝑉) = (𝑌 · 𝑉))
4220, 36, 413eqtrd 2648 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵𝑌𝑅) → ({⟨𝑉, 𝑌⟩} ( linC ‘𝑀){𝑉}) = (𝑌 · 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  cop 4131  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  LModclmod 18686   linC clinc 41987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-lmod 18688  df-linc 41989
This theorem is referenced by:  lincvalsn  42000  snlindsntorlem  42053  ldepsnlinclem1  42088  ldepsnlinclem2  42089
  Copyright terms: Public domain W3C validator