Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linc1 42008
 Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc1.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
linc1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
linc1.0 0 = (0g𝑆)
linc1.1 1 = (1r𝑆)
linc1.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
linc1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem linc1
Dummy variables 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
2 linc1.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
32lmodring 18694 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
42eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑀) = 𝑆
54fveq2i 6106 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘𝑆)
6 linc1.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r𝑆)
75, 6ringidcl 18391 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
8 linc1.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑆)
95, 8ring0cl 18392 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
107, 9jca 553 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
12113ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
1312adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → ( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))))
14 ifcl 4080 . . . . . 6 (( 1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 0 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀))) → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑥𝑉) → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
16 linc1.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
1715, 16fmptd 6292 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
18 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
19 simp2 1055 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
20 elmapg 7757 . . . . 5 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2118, 19, 20sylancr 694 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
2217, 21mpbird 246 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉))
23 linc1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
2423pweqi 4112 . . . . . 6 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
2524eleq2i 2680 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2625biimpi 205 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
27263ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
28 lincval 41992 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))))
291, 22, 27, 28syl3anc 1318 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))))
30 eqid 2610 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
31 lmodgrp 18693 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
32 grpmnd 17252 . . . . 5 (𝑀 ∈ Grp → 𝑀 ∈ Mnd)
3331, 32syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Mnd)
34333ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑀 ∈ Mnd)
35 simp3 1056 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
361adantr 480 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
37 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
38 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
392, 38, 6lmod1cl 18713 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝑆))
40393ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
4140adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
422, 38, 8lmod0cl 18712 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑆))
43423ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
4443adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
4541, 44ifcld 4081 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑆))
46 eqeq1 2614 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑋))
4746ifbid 4058 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))
4847, 16fvmptg 6189 . . . . . . 7 ((𝑦𝑉 ∧ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))
4937, 45, 48syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))
5049, 45eqeltrd 2688 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
51 elelpwi 4119 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑦𝐵)
5251expcom 450 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑦𝑉𝑦𝐵))
53523ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑦𝑉𝑦𝐵))
5453imp 444 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝐵)
55 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
5623, 2, 55, 38lmodvscl 18703 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
5736, 50, 54, 56syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
58 eqid 2610 . . . 4 (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))
5957, 58fmptd 6292 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)):𝑉𝐵)
60 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑣))
61 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣𝑦 = 𝑣)
6260, 61oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) = ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
6362cbvmptv 4678 . . . . 5 (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))
64 fvex 6113 . . . . . 6 (0g𝑀) ∈ V
6564a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (0g𝑀) ∈ V)
66 ovex 6577 . . . . . 6 ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ V
6766a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ V)
6863, 19, 65, 67mptsuppd 7205 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) supp (0g𝑀)) = {𝑣𝑉 ∣ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀)})
69 2a1 28 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋)))
70 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → 𝑣𝑉)
71 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑆) ∈ V
726, 71eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
73 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑆) ∈ V
748, 73eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
7572, 74ifex 4106 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ V
76 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 = 𝑋𝑣 = 𝑋))
7776ifbid 4058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑣 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
7877, 16fvmptg 6189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣𝑉 ∧ if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ V) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
7970, 75, 78sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (𝐹𝑣) = if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ))
80 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑣 = 𝑋 → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → if(𝑣 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
8279, 81eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (𝐹𝑣) = 0 )
8382oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣))
841adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
86 elelpwi 4119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑣𝐵)
8786expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
88873ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
8988imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → 𝑣𝐵)
9123, 2, 55, 8, 30lmod0vs 18719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑣𝐵) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
9285, 90, 91syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → ( 0 ( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
9383, 92eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) = (0g𝑀))
9493neeq1d 2841 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) ↔ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)))
95 eqneqall 2793 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑀) = (0g𝑀) → ((0g𝑀) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
9630, 95ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((0g𝑀) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋)
9794, 96syl6bi 242 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑣 = 𝑋 ∧ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉)) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
9897ex 449 . . . . . . 7 𝑣 = 𝑋 → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋)))
9969, 98pm2.61i 175 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
10099ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ∀𝑣𝑉 (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
101 rabsssn 4162 . . . . 5 ({𝑣𝑉 ∣ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑋} ↔ ∀𝑣𝑉 (((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀) → 𝑣 = 𝑋))
102100, 101sylibr 223 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → {𝑣𝑉 ∣ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑋})
10368, 102eqsstrd 3602 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦)) supp (0g𝑀)) ⊆ {𝑋})
10423, 30, 34, 19, 35, 59, 103gsumpt 18184 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑀 Σg (𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))) = ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋))
105 ovex 6577 . . . 4 ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ V
106 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑋))
107 id 22 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋𝑦 = 𝑋)
108106, 107oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
109108, 58fvmptg 6189 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) ∈ V) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
11035, 105, 109sylancl 693 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋))
111 iftrue 4042 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ) = 1 )
112111, 16fvmptg 6189 . . . . 5 ((𝑋𝑉1 ∈ V) → (𝐹𝑋) = 1 )
11335, 72, 112sylancl 693 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) = 1 )
114113oveq1d 6564 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝐹𝑋)( ·𝑠𝑀)𝑋) = ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑋))
115 elelpwi 4119 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵)
116115ancoms 468 . . . . 5 ((𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
1171163adant1 1072 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
11823, 2, 55, 6lmodvs1 18714 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑋) = 𝑋)
1191, 117, 118syl2anc 691 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ( 1 ( ·𝑠𝑀)𝑋) = 𝑋)
120110, 114, 1193eqtrd 2648 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑦𝑉 ↦ ((𝐹𝑦)( ·𝑠𝑀)𝑦))‘𝑋) = 𝑋)
12129, 104, 1203eqtrd 2648 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182   ↑𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  1rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686   linC clinc 41987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-linc 41989 This theorem is referenced by:  lcoss  42019
 Copyright terms: Public domain W3C validator