Theorem kercvrlsm 36671

Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kercvrlsm.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
kercvrlsm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑆)
kercvrlsm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
kercvrlsm.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
kercvrlsm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
kercvrlsm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
kercvrlsm.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
kercvrlsm.cv	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
kercvrlsm	⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) = 𝐵)

Proof of Theorem kercvrlsm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kercvrlsm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2		lmhmlmod1 18854	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
4		kercvrlsm.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
5		kercvrlsm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
6		kercvrlsm.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
7	4, 5, 6	lmhmkerlss 18872	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾 ∈ 𝑈)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑈)
9		kercvrlsm.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
10		kercvrlsm.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑆)
11	6, 10	lsmcl 18904	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈)
12	3, 8, 9, 11	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈)
13		kercvrlsm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
14	13, 6	lssss 18758	. . 3 ⊢ ((𝐾 ⊕ 𝐷) ∈ 𝑈 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ⊆ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) ⊆ 𝐵)
16		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
17	13, 16	lmhmf 18855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
19		ffn 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) → 𝐹 Fn 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
21		fnfvelrn 6264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ ran 𝐹)
22	20, 21	sylan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ ran 𝐹)
23		kercvrlsm.cv	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹 “ 𝐷) = ran 𝐹)
25	22, 24	eleqtrrd 2691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷))
26	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
27	13, 6	lssss 18758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑈 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐵)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
30		fvelimab 6163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
31	26, 29, 30	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∈ (𝐹 “ 𝐷) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)))
32	25, 31	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎))
33		lmodgrp 18693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
34	3, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
36		simprl 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
37	28	sselda 3568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐵)
38	37	adantrl 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
39		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
40		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-g‘𝑆) = (-g‘𝑆)
41	13, 39, 40	grpnpcan 17330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
42	35, 36, 38, 41	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑎)
44	3	ad2antrr 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑆 ∈ LMod)
45	13, 6	lssss 18758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑈 → 𝐾 ⊆ 𝐵)
46	8, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐵)
47	46	ad2antrr 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝐾 ⊆ 𝐵)
48	28	ad2antrr 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝐷 ⊆ 𝐵)
49		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
50		lmghm 18852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
51	1, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
53	13, 5, 4, 40	ghmeqker 17510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
54	52, 36, 38, 53	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
55	49, 54	syl5bb 271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) ↔ (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
56	55	biimpa 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → (𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾)
57		simplrr 797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
58	13, 39, 10	lsmelvalix 17879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐵) ∧ ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏) ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
59	44, 47, 48, 56, 57, 58	syl32anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → ((𝑎(-g‘𝑆)𝑏)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
60	43, 59	eqeltrrd 2689	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
61	60	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
62	61	anassrs 678	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
63	62	rexlimdva 3013	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∃𝑏 ∈ 𝐷 (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
64	32, 63	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷))
65	64	ex 449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐷)))
66	65	ssrdv 3574	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (𝐾 ⊕ 𝐷))
67	15, 66	eqssd 3585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐷) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ^◡ccnv 5037  ran crn 5039   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -_gcsg 17247   GrpHom cghm 17480  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753   LMHom clmhm 18840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lmhm 18843

This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  36674