Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0oval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0oval 27027
 Description: Value of the zero operator. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
0oval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
0oval.6 𝑍 = (0vec𝑊)
0oval.0 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
Assertion
Ref Expression
0oval ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem 0oval
StepHypRef Expression
1 0oval.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 0oval.6 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑊)
3 0oval.0 . . . . 5 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
41, 2, 30ofval 27026 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑂 = (𝑋 × {𝑍}))
54fveq1d 6105 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑂𝐴) = ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴))
653adant3 1074 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴))
7 fvex 6113 . . . . 5 (0vec𝑊) ∈ V
82, 7eqeltri 2684 . . . 4 𝑍 ∈ V
98fvconst2 6374 . . 3 (𝐴𝑋 → ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴) = 𝑍)
1093ad2ant3 1077 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑋 × {𝑍})‘𝐴) = 𝑍)
116, 10eqtrd 2644 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825  0veccn0v 26827   0op c0o 26982 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-0o 26986 This theorem is referenced by:  0lno  27029  nmoo0  27030  nmlno0lem  27032
 Copyright terms: Public domain W3C validator