Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfpos 23224
 Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfpos.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfpos (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9913 . . . . . . 7 0 ∈ V
21fvconst2 6374 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
32adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
4 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
5 mbfpos.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
76fvmpt2 6200 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
84, 5, 7syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
93, 8breq12d 4596 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 0 ≤ 𝐵))
109, 8, 3ifbieq12d 4063 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
1110mpteq2dva 4672 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)))
12 0re 9919 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6008 . . . 4 (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {0}):𝐴⟶ℝ)
15 mbfpos.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
1615, 5mbfdm2 23211 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
17 0cnd 9912 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
18 mbfconst 23208 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
1916, 17, 18syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
205, 6fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
21 nfcv 2751 . . . 4 𝑦if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))
22 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦)
23 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥
24 nffvmpt1 6111 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
2522, 23, 24nfbr 4629 . . . . 5 𝑥((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
2625, 24, 22nfif 4065 . . . 4 𝑥if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦))
27 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑦))
28 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
2927, 28breq12d 4596 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)))
3029, 28, 27ifbieq12d 4063 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥)) = if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
3121, 26, 30cbvmpt 4677 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) = (𝑦𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦), ((𝐴 × {0})‘𝑦)))
3214, 19, 20, 15, 31mbfmax 23222 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(((𝐴 × {0})‘𝑥) ≤ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥), ((𝐴 × {0})‘𝑥))) ∈ MblFn)
3311, 32eqeltrrd 2689 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954  volcvol 23039  MblFncmbf 23189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194 This theorem is referenced by:  mbfposb  23226  mbfi1flimlem  23295  itgreval  23369  ibladdlem  23392  iblabslem  23400  mbfposadd  32627  ibladdnclem  32636  iblabsnclem  32643  itgmulc2nclem2  32647
 Copyright terms: Public domain W3C validator