MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Structured version   Unicode version

Theorem mbfpos 22348
Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfpos.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfpos  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9619 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
21fvconst2 6106 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
32adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
4 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
5 mbfpos.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
6 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
76fvmpt2 5940 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
84, 5, 7syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
93, 8breq12d 4407 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  0  <_  B ) )
109, 8, 3ifbieq12d 3911 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
1110mpteq2dva 4480 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
12 0re 9625 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1312fconst6 5757 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> RR
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } ) : A --> RR )
15 mbfpos.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
1615, 5mbfdm2 22335 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
17 0cnd 9618 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
18 mbfconst 22332 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
1916, 17, 18syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e. MblFn
)
205, 6fmptd 6032 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
21 nfcv 2564 . . . 4  |-  F/_ y if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )
22 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( A  X.  { 0 } ) `
 y )
23 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
24 nffvmpt1 5856 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
2522, 23, 24nfbr 4438 . . . . 5  |-  F/ x
( ( A  X.  { 0 } ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
2625, 24, 22nfif 3913 . . . 4  |-  F/_ x if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  y ) )
27 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  ( ( A  X.  {
0 } ) `  y ) )
28 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )
2927, 28breq12d 4407 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  y )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ) )
3029, 28, 27ifbieq12d 3911 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )  =  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )
3121, 26, 30cbvmpt 4485 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )
3214, 19, 20, 15, 31mbfmax 22346 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x ) ) )  e. MblFn )
3311, 32eqeltrrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ifcif 3884   {csn 3971   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   dom cdm 4822   -->wf 5564   ` cfv 5568   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521    <_ cle 9658   volcvol 22165  MblFncmbf 22313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xadd 11371  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-xmet 18730  df-met 18731  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318
This theorem is referenced by:  mbfposb  22350  mbfi1flimlem  22419  itgreval  22493  ibladdlem  22516  iblabslem  22524  mbfposadd  31414  ibladdnclem  31424  iblabsnclem  31431  itgmulc2nclem2  31435
  Copyright terms: Public domain W3C validator