MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Unicode version

Theorem mbfpos 19496
Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfpos.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfpos  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9041 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
21fvconst2 5906 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
32adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
4 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
5 mbfpos.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
6 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
76fvmpt2 5771 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
84, 5, 7syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
93, 8breq12d 4185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  0  <_  B ) )
109, 8, 3ifbieq12d 3721 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
1110mpteq2dva 4255 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
12 0re 9047 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1312fconst6 5592 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> RR
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } ) : A --> RR )
15 mbfpos.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
1615, 5mbfdm2 19483 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
1712a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
1817recnd 9070 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
19 mbfconst 19480 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
2016, 18, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e. MblFn
)
215, 6fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
22 nfcv 2540 . . . 4  |-  F/_ y if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )
23 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( A  X.  { 0 } ) `
 y )
24 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
25 nffvmpt1 5695 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
2623, 24, 25nfbr 4216 . . . . 5  |-  F/ x
( ( A  X.  { 0 } ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
2726, 25, 23nfif 3723 . . . 4  |-  F/_ x if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  y ) )
28 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  ( ( A  X.  {
0 } ) `  y ) )
29 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )
3028, 29breq12d 4185 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  y )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ) )
3130, 29, 28ifbieq12d 3721 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )  =  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )
3222, 27, 31cbvmpt 4259 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )
3314, 20, 21, 15, 32mbfmax 19494 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x ) ) )  e. MblFn )
3411, 33eqeltrrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    <_ cle 9077   volcvol 19313  MblFncmbf 19459
This theorem is referenced by:  mbfposb  19498  mbfi1flimlem  19567  itgreval  19641  ibladdlem  19664  iblabslem  19672  mbfposadd  26153  ibladdnclem  26160  iblabsnclem  26167  itgmulc2nclem2  26171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465
  Copyright terms: Public domain W3C validator