MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Structured version   Unicode version

Theorem mbfpos 21790
Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfpos.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfpos  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9586 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
21fvconst2 6114 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
5 mbfpos.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
6 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
76fvmpt2 5955 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
84, 5, 7syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
93, 8breq12d 4460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  0  <_  B ) )
109, 8, 3ifbieq12d 3966 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
1110mpteq2dva 4533 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
12 0re 9592 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1312fconst6 5773 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> RR
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } ) : A --> RR )
15 mbfpos.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
1615, 5mbfdm2 21777 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
17 0cnd 9585 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
18 mbfconst 21774 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e. MblFn
)
205, 6fmptd 6043 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
21 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ y if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )
22 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( A  X.  { 0 } ) `
 y )
23 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
24 nffvmpt1 5872 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
2522, 23, 24nfbr 4491 . . . . 5  |-  F/ x
( ( A  X.  { 0 } ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
2625, 24, 22nfif 3968 . . . 4  |-  F/_ x if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  y ) )
27 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  ( ( A  X.  {
0 } ) `  y ) )
28 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )
2927, 28breq12d 4460 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  y )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ) )
3029, 28, 27ifbieq12d 3966 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )  =  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )
3121, 26, 30cbvmpt 4537 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )
3214, 19, 20, 15, 31mbfmax 21788 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x ) ) )  e. MblFn )
3311, 32eqeltrrd 2556 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   -->wf 5582   ` cfv 5586   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    <_ cle 9625   volcvol 21607  MblFncmbf 21755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465  df-xmet 18180  df-met 18181  df-ovol 21608  df-vol 21609  df-mbf 21760
This theorem is referenced by:  mbfposb  21792  mbfi1flimlem  21861  itgreval  21935  ibladdlem  21958  iblabslem  21966  mbfposadd  29637  ibladdnclem  29646  iblabsnclem  29653  itgmulc2nclem2  29657
  Copyright terms: Public domain W3C validator