Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcmul 23513
 Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvcmul.x (𝜑𝑋𝑆)
dvcmul.c (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcmul (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcmul
StepHypRef Expression
1 dvcmul.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 fconst6g 6007 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
4 ssid 3587 . . . 4 𝑆𝑆
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆𝑆)
6 dvcmul.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvcmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
8 dvcmul.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 recnprss 23474 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1110, 6, 7dvbss 23471 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
12 dvcmul.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
1311, 12sseldd 3569 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
147, 13sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
15 fconst6g 6007 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
161, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
17 ssid 3587 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
19 dvconst 23486 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
2120dmeqd 5248 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
22 c0ex 9913 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2322fconst 6004 . . . . . . . . . . 11 (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
2423fdmi 5965 . . . . . . . . . 10 dom (ℂ × {0}) = ℂ
2521, 24syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
2610, 25sseqtr4d 3605 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
27 dvres3 23483 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
288, 16, 18, 26, 27syl22anc 1319 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
29 xpssres 5354 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
3010, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
3130oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
3220reseq1d 5316 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
33 xpssres 5354 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3410, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3532, 34eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3628, 31, 353eqtr3d 2652 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
3722fconst2 6375 . . . . . 6 ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
3836, 37sylibr 223 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0})
39 fdm 5964 . . . . 5 ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
4038, 39syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
4114, 40eleqtrrd 2691 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
423, 5, 6, 7, 8, 41, 12dvmul 23510 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))‘𝐶) = ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))))
4336fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = ((𝑆 × {0})‘𝐶))
4422fvconst2 6374 . . . . . . 7 (𝐶𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
4514, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
4643, 45eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = 0)
4746oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) = (0 · (𝐹𝐶)))
486, 13ffvelrnd 6268 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4948mul02d 10113 . . . 4 (𝜑 → (0 · (𝐹𝐶)) = 0)
5047, 49eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) = 0)
51 fvconst2g 6372 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
521, 14, 51syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
5352oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴))
54 dvfg 23476 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
558, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
5655, 12ffvelrnd 6268 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
5756, 1mulcomd 9940 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
5853, 57eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
5950, 58oveq12d 6567 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))) = (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
601, 56mulcld 9939 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ℂ)
6160addid2d 10116 . 2 (𝜑 → (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
6242, 59, 613eqtrd 2648 1 (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   × cxp 5036  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator