MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmul Unicode version

Theorem dvcmul 19783
Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcmul.f  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
dvcmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
dvcmul.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvcmul.c  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
Assertion
Ref Expression
dvcmul  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( ( S  X.  { A } )  o F  x.  F ) ) `  C )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C
) ) )

Proof of Theorem dvcmul
StepHypRef Expression
1 dvcmul.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 fconst6g 5591 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( S  X.  { A }
) : S --> CC )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { A } ) : S --> CC )
4 ssid 3327 . . . 4  |-  S  C_  S
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  S )
6 dvcmul.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
7 dvcmul.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
8 dvcmul.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
9 recnprss 19744 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
1110, 6, 7dvbss 19741 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  X
)
12 dvcmul.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
1311, 12sseldd 3309 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
147, 13sseldd 3309 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
15 fconst6g 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC )
161, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  { A } ) : CC --> CC )
17 ssid 3327 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
19 dvconst 19756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
201, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A }
) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
2120dmeqd 5031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  dom  ( CC  X.  { 0 } ) )
22 c0ex 9041 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
2322fconst 5588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { 0 } ) : CC --> { 0 }
2423fdmi 5555 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( CC  X.  { 0 } )  =  CC
2521, 24syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  CC )
2610, 25sseqtr4d 3345 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  dom  ( CC 
_D  ( CC  X.  { A } ) ) )
27 dvres3 19753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  ( CC  X.  { A } ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  S  C_ 
dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S ) )
288, 16, 18, 26, 27syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( CC 
X.  { A }
) )  |`  S ) )
29 xpssres 5139 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S )  =  ( S  X.  { A } ) )
3010, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S )  =  ( S  X.  { A } ) )
3130oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) )
3220reseq1d 5104 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S )  =  ( ( CC  X.  {
0 } )  |`  S ) )
33 xpssres 5139 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  X.  { 0 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3410, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { 0 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3532, 34eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3628, 31, 353eqtr3d 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( S  X.  { A }
) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
3722fconst2 5907 . . . . . 6  |-  ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) : S --> { 0 }  <->  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
3836, 37sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) : S --> { 0 } )
39 fdm 5554 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) : S --> { 0 }  ->  dom  ( S  _D  ( S  X.  { A }
) )  =  S )
4038, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) )  =  S )
4114, 40eleqtrrd 2481 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) )
423, 5, 6, 7, 8, 41, 12dvmul 19780 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( ( S  X.  { A } )  o F  x.  F ) ) `  C )  =  ( ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) `  C
)  x.  ( F `
 C ) )  +  ( ( ( S  _D  F ) `
 C )  x.  ( ( S  X.  { A } ) `  C ) ) ) )
4336fveq1d 5689 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `  C )  =  ( ( S  X.  {
0 } ) `  C ) )
4422fvconst2 5906 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  S  ->  (
( S  X.  {
0 } ) `  C )  =  0 )
4514, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { 0 } ) `
 C )  =  0 )
4643, 45eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `  C )  =  0 )
4746oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `
 C )  x.  ( F `  C
) )  =  ( 0  x.  ( F `
 C ) ) )
486, 13ffvelrnd 5830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4948mul02d 9220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( F `  C )
)  =  0 )
5047, 49eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) `
 C )  x.  ( F `  C
) )  =  0 )
51 fvconst2g 5904 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  S )  ->  ( ( S  X.  { A } ) `  C )  =  A )
521, 14, 51syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { A } ) `  C )  =  A )
5352oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  (
( S  X.  { A } ) `  C
) )  =  ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  x.  A ) )
54 dvfg 19746 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
558, 54syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
5655, 12ffvelrnd 5830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  CC )
5756, 1mulcomd 9065 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
5853, 57eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  F ) `  C )  x.  (
( S  X.  { A } ) `  C
) )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )
5950, 58oveq12d 6058 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) `  C
)  x.  ( F `
 C ) )  +  ( ( ( S  _D  F ) `
 C )  x.  ( ( S  X.  { A } ) `  C ) ) )  =  ( 0  +  ( A  x.  (
( S  _D  F
) `  C )
) ) )
601, 56mulcld 9064 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  CC )
6160addid2d 9223 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
6242, 59, 613eqtrd 2440 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( ( S  X.  { A } )  o F  x.  F ) ) `  C )  =  ( A  x.  ( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775    X. cxp 4835   dom cdm 4837    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    x. cmul 8951    _D cdv 19703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
  Copyright terms: Public domain W3C validator