Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrnznn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrnznn 23807
 Description: A nonzero polynomial with a root has positive degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrnznn (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)

Proof of Theorem dgrnznn
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
21fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃𝐴) = ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴))
3 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃𝐴) = 0)
4 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃‘0) ∈ V
54fvconst2 6374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
65ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
72, 3, 63eqtr3rd 2653 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘0) = 0)
87sneqd 4137 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → {(𝑃‘0)} = {0})
98xpeq2d 5063 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (ℂ × {(𝑃‘0)}) = (ℂ × {0}))
101, 9eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {0}))
11 df-0p 23243 . . . . . . . 8 0𝑝 = (ℂ × {0})
1210, 11syl6eqr 2662 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = 0𝑝)
1312ex 449 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) → (𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}) → 𝑃 = 0𝑝))
1413necon3ad 2795 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
1514impcom 445 . . . 4 ((𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
1615adantll 746 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
17 0dgrb 23806 . . . 4 (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
1817ad2antrr 758 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
1916, 18mtbird 314 . 2 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ¬ (deg‘𝑃) = 0)
20 dgrcl 23793 . . . 4 (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
2120ad2antrr 758 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
22 elnn0 11171 . . 3 ((deg‘𝑃) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
2321, 22sylib 207 . 2 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
24 orel2 397 . 2 (¬ (deg‘𝑃) = 0 → (((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ))
2519, 23, 24sylc 63 1 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  0𝑝c0p 23242  Polycply 23744  degcdgr 23747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751 This theorem is referenced by:  dgraalem  36734  dgraaub  36737  etransclem47  39174
 Copyright terms: Public domain W3C validator