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Theorem plymullem1 21694
Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyaddlem.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyaddlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyaddlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyaddlem.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyaddlem.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyaddlem.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyaddlem.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plymullem1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    k, n, B    k, M, n    k, N, n    z,
k, ph, n
Allowed substitution hints:    A( z, k)    B( z)    S( z, k, n)    F( z, k, n)    G( z, k, n)    M( z)    N( z)

Proof of Theorem plymullem1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9375 . . . 4  |-  CC  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
3 sumex 13177 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V )
5 sumex 13177 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V )
7 plyaddlem.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
8 plyaddlem.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
92, 4, 6, 7, 8offval2 6348 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
10 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( B `  m )  =  ( B `  n ) )
11 oveq2 6111 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
z ^ m )  =  ( z ^
n ) )
1210, 11oveq12d 6121 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) )  =  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )
1312oveq2d 6119 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
14 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  ( B `  m )  =  ( B `  ( n  -  k
) ) )
15 oveq2 6111 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  (
z ^ m )  =  ( z ^
( n  -  k
) ) )
1614, 15oveq12d 6121 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  (
( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) )  =  ( ( B `
 ( n  -  k ) )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )
1716oveq2d 6119 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  ( n  -  k
) )  x.  (
z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
18 elfznn0 11493 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
19 plyaddlem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  A : NN0
--> CC )
2120ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
22 expcl 11895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
2322adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
z ^ k )  e.  CC )
2421, 23mulcld 9418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
2518, 24sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
26 elfznn0 11493 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) )  ->  n  e.  NN0 )
27 plyaddlem.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
2928ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( B `  n )  e.  CC )
30 expcl 11895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( z ^ n
)  e.  CC )
3130adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
z ^ n )  e.  CC )
3229, 31mulcld 9418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
3326, 32sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
3425, 33anim12dan 833 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC  /\  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC ) )
35 mulcl 9378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  e.  CC  /\  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  e.  CC )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  e.  CC )
3713, 17, 36fsum0diag2 13262 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  (
n  -  k ) )  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
38 plyaddlem.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
3938nn0cnd 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  CC )
41 plyaddlem.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4241nn0cnd 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  N  e.  CC )
44 elfznn0 11493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  ->  k  e.  NN0 )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
4645nn0cnd 10650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  k  e.  CC )
4740, 43, 46addsubd 9752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  +  N
)  -  k )  =  ( ( M  -  k )  +  N ) )
48 fznn0sub 11499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  k )  e.  NN0 )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  -  k )  e.  NN0 )
50 nn0uz 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5149, 50syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  -  k )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
5241nn0zd 10757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  N  e.  ZZ )
54 eluzadd 10901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  -  k
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  -  k
)  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  N ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  -  k
)  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  N ) ) )
5647, 55eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  +  N
)  -  k )  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  N ) ) )
5743addid2d 9582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0  +  N )  =  N )
5857fveq2d 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ZZ>=
`  ( 0  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  N )
)
5956, 58eleqtrd 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  +  N
)  -  k )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
60 fzss2 11510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  k )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )
6244, 24sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
6362adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
64 elfznn0 11493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  NN0 )
6564, 32sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
6665adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  e.  CC )
6763, 66mulcld 9418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  e.  CC )
68 eldifn 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  n  e.  ( 0 ... N ) )
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  -.  n  e.  ( 0 ... N
) )
70 eldifi 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )
7170, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  n  e.  NN0 )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
73 peano2nn0 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
7441, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
7574, 50syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
76 uzsplit 11542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
7850, 77syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
79 ax-1cn 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
80 pncan 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
8142, 79, 80sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
8281oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
8382uneq1d 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8478, 83eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8584ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N
)  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
8672, 85eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )
87 elun 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  \/  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8886, 87sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  \/  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8988ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( -.  n  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
9069, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
91 ffun 5573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  Fun 
B )
9227, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  B )
93 ssun2 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  C_  (
( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )
9493, 78syl5sseqr 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  NN0 )
95 fdm 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  dom 
B  =  NN0 )
9627, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  B  =  NN0 )
9794, 96sseqtr4d 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  dom  B )
98 funfvima2 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  B  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  B )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( B `  n )  e.  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9992, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  -> 
( B `  n
)  e.  ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
10099ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( B `  n )  e.  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
10190, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B `  n )  e.  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
102 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
103102ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
104101, 103eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B `  n )  e.  {
0 } )
105 elsni 3914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B `  n )  e.  { 0 }  ->  ( B `  n )  =  0 )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B `  n )  =  0 )
107106oveq1d 6118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ n ) ) )
108 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  z  e.  CC )
109108, 71, 30syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( z ^ n )  e.  CC )
110109mul02d 9579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
n ) )  =  0 )
111107, 110eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  =  0 )
112111oveq2d 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  0 ) )
11362adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
114113mul01d 9580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  0 )  =  0 )
115112, 114eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  =  0 )
116 fzfid 11807 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  e. 
Fin )
11761, 67, 115, 116fsumss 13214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) ) ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) )
118117sumeq2dv 13192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) ) )
119 fzfid 11807 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  e. 
Fin )
120 fzfid 11807 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  e. 
Fin )
121119, 120, 62, 65fsum2mul 13268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
12239, 42addcomd 9583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  =  ( N  +  M ) )
12341, 50syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
12438nn0zd 10757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
125 eluzadd 10901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )
126123, 124, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
12739addid2d 9582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
128127fveq2d 5707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
129126, 128eleqtrd 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
130122, 129eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
131 fzss2 11510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
133132adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
13462adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
13533adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  e.  CC )
136134, 135mulcld 9418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  e.  CC )
137116, 136fsumcl 13222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  e.  CC )
138 eldifn 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M ) )
139138adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M
) )
140 eldifi 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
141140, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
142141adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
143 peano2nn0 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
14438, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
145144, 50syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
146 uzsplit 11542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0 ... ( ( M  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
14850, 147syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( ( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
149 pncan 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
15039, 79, 149sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
151150oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... M ) )
152151uneq1d 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( ( M  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
153148, 152eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
154153ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  NN0  =  ( ( 0 ... M
)  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
155142, 154eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  k  e.  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
156 elun 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
157155, 156sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
158157ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... M )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
159139, 158mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
160 ffun 5573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  Fun 
A )
16119, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Fun  A )
162 ssun2 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  C_  (
( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
163162, 148syl5sseqr 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  NN0 )
164 fdm 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  dom 
A  =  NN0 )
16519, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  A  =  NN0 )
166163, 165sseqtr4d 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  dom  A )
167 funfvima2 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
168161, 166, 167syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  -> 
( A `  k
)  e.  ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
169168ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )
170159, 169mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
171 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
172171ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
173170, 172eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  {
0 } )
174 elsni 3914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A `  k )  e.  { 0 }  ->  ( A `  k )  =  0 )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  =  0 )
176175oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
177141, 23sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
178177mul02d 9579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
179176, 178eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
180179adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  0 )
181180oveq1d 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
18233adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
183182mul02d 9579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( B `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  0 )
184181, 183eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  0 )
185184sumeq2dv 13192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) ) 0 )
186 fzfid 11807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  e. 
Fin )
187186olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( (
0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  e.  Fin )
)
188 sumz 13211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  e. 
Fin )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) 0  =  0 )
189187, 188syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) 0  =  0 )
190185, 189eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  0 )
191 fzfid 11807 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin )
192133, 137, 190, 191fsumss 13214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) ) )
193118, 121, 1923eqtr3d 2483 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) ) ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) )
194 fzfid 11807 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
0 ... n )  e. 
Fin )
195 elfznn0 11493 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  n  e.  NN0 )
196195, 31sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
z ^ n )  e.  CC )
197 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  ph )
198 elfznn0 11493 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
19919ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
200197, 198, 199syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
201 fznn0sub 11499 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
20227ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  -  k )  e. 
NN0 )  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  CC )
203197, 201, 202syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( B `  ( n  -  k
) )  e.  CC )
204200, 203mulcld 9418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
205194, 196, 204fsummulc1 13264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^
n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) ) )
206 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  z  e.  CC )
207206, 198, 22syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
208 expcl 11895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  ( n  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( z ^ (
n  -  k ) )  e.  CC )
209206, 201, 208syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ ( n  -  k ) )  e.  CC )
210200, 207, 203, 209mul4d 9593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 ( n  -  k ) )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
( z ^ k
)  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
211206adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  z  e.  CC )
212201adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( n  -  k )  e. 
NN0 )
213198adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  k  e.  NN0 )
214211, 212, 213expaddd 12022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ ( k  +  ( n  -  k
) ) )  =  ( ( z ^
k )  x.  (
z ^ ( n  -  k ) ) ) )
215213nn0cnd 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  k  e.  CC )
216195ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  n  e.  NN0 )
217216nn0cnd 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  n  e.  CC )
218215, 217pncan3d 9734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( k  +  ( n  -  k ) )  =  n )
219218oveq2d 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ ( k  +  ( n  -  k
) ) )  =  ( z ^ n
) )
220214, 219eqtr3d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
z ^ k )  x.  ( z ^
( n  -  k
) ) )  =  ( z ^ n
) )
221220oveq2d 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  x.  ( ( z ^ k )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) ) )
222210, 221eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 ( n  -  k ) )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) ) )
223222sumeq2dv 13192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  ( n  -  k
) )  x.  (
z ^ ( n  -  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) )
224205, 223eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^
n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  (
n  -  k ) )  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
225224sumeq2dv 13192 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  (
n  -  k ) )  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
22637, 193, 2253eqtr4rd 2486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
227 fveq2 5703 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( B `  n )  =  ( B `  k ) )
228 oveq2 6111 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
z ^ n )  =  ( z ^
k ) )
229227, 228oveq12d 6121 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  =  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
230229cbvsumv 13185 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )
231230oveq2i 6114 . . . 4  |-  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
232226, 231syl6eq 2491 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
233232mpteq2dva 4390 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
2349, 233eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984    \ cdif 3337    u. cun 3338    C_ wss 3340   {csn 3889    e. cmpt 4362   dom cdm 4852   "cima 4855   Fun wfun 5424   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    oFcof 6330   Fincfn 7322   CCcc 9292   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    - cmin 9607   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   ...cfz 11449   ^cexp 11877   sum_csu 13175  Polycply 21664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176
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