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Theorem plymullem1 22479
Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
plyaddlem.2  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
plyaddlem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
plyaddlem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
plyaddlem.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyaddlem.b2  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
plyaddlem.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
plyaddlem.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plymullem1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    k, n, B    k, M, n    k, N, n    z,
k, ph, n
Allowed substitution hints:    A( z, k)    B( z)    S( z, k, n)    F( z, k, n)    G( z, k, n)    M( z)    N( z)

Proof of Theorem plymullem1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9585 . . . 4  |-  CC  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
3 sumex 13490 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V )
5 sumex 13490 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  _V )
7 plyaddlem.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
8 plyaddlem.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
92, 4, 6, 7, 8offval2 6551 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) ) ) )
10 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( B `  m )  =  ( B `  n ) )
11 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
z ^ m )  =  ( z ^
n ) )
1210, 11oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) )  =  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )
1312oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
14 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  ( B `  m )  =  ( B `  ( n  -  k
) ) )
15 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  (
z ^ m )  =  ( z ^
( n  -  k
) ) )
1614, 15oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  (
( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) )  =  ( ( B `
 ( n  -  k ) )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )
1716oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  -  k )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  ( n  -  k
) )  x.  (
z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
18 elfznn0 11782 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
19 plyaddlem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  A : NN0
--> CC )
2120ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
22 expcl 12164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( z ^ k
)  e.  CC )
2322adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
z ^ k )  e.  CC )
2421, 23mulcld 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
2518, 24sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
26 elfznn0 11782 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) )  ->  n  e.  NN0 )
27 plyaddlem.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
2928ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( B `  n )  e.  CC )
30 expcl 12164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( z ^ n
)  e.  CC )
3130adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
z ^ n )  e.  CC )
3229, 31mulcld 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
3326, 32sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
3425, 33anim12dan 835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC  /\  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC ) )
35 mulcl 9588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  e.  CC  /\  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  e.  CC )
3634, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  e.  CC )
3713, 17, 36fsum0diag2 13578 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  (
n  -  k ) )  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
38 plyaddlem.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
3938nn0cnd 10866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  CC )
41 plyaddlem.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4241nn0cnd 10866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  N  e.  CC )
44 elfznn0 11782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  ->  k  e.  NN0 )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
4645nn0cnd 10866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  k  e.  CC )
4740, 43, 46addsubd 9963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  +  N
)  -  k )  =  ( ( M  -  k )  +  N ) )
48 fznn0sub 11728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  k )  e.  NN0 )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  -  k )  e.  NN0 )
50 nn0uz 11128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5149, 50syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  -  k )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
5241nn0zd 10976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  N  e.  ZZ )
54 eluzadd 11122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  -  k
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  -  k
)  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  N ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  -  k
)  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  N ) ) )
5647, 55eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  +  N
)  -  k )  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  N ) ) )
5743addid2d 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0  +  N )  =  N )
5857fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( ZZ>=
`  ( 0  +  N ) )  =  ( ZZ>= `  N )
)
5956, 58eleqtrd 2557 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M  +  N
)  -  k )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
60 fzss2 11735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  k )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0 ... N )  C_  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )
6244, 24sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  e.  CC )
6362adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
64 elfznn0 11782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  NN0 )
6564, 32sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
6665adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  e.  CC )
6763, 66mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  e.  CC )
68 eldifn 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  n  e.  ( 0 ... N ) )
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  -.  n  e.  ( 0 ... N
) )
70 eldifi 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )
7170, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  n  e.  NN0 )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
73 peano2nn0 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
7441, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
7574, 50syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
76 uzsplit 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
7850, 77syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
79 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
80 pncan 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
8142, 79, 80sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
8281oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
8382uneq1d 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8478, 83eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8584ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N
)  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
8672, 85eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )
87 elun 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  \/  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8886, 87sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( n  e.  ( 0 ... N
)  \/  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
8988ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( -.  n  e.  ( 0 ... N )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
9069, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
91 ffun 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  Fun 
B )
9227, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  B )
93 ssun2 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  C_  (
( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )
9493, 78syl5sseqr 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  NN0 )
95 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B : NN0 --> CC  ->  dom 
B  =  NN0 )
9627, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  B  =  NN0 )
9794, 96sseqtr4d 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) 
C_  dom  B )
98 funfvima2 6147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  B  /\  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) )  C_  dom  B )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  ->  ( B `  n )  e.  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9992, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  -> 
( B `  n
)  e.  ( B
" ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) ) )
10099ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( B `  n )  e.  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) ) )
10190, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B `  n )  e.  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
102 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
103102ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B " ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
104101, 103eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B `  n )  e.  {
0 } )
105 elsni 4058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B `  n )  e.  { 0 }  ->  ( B `  n )  =  0 )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( B `  n )  =  0 )
107106oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ n ) ) )
108 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  z  e.  CC )
109108, 71, 30syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( z ^ n )  e.  CC )
110109mul02d 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
n ) )  =  0 )
111107, 110eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  =  0 )
112111oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  0 ) )
11362adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
114113mul01d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  0 )  =  0 )
115112, 114eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  \  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  =  0 )
116 fzfid 12063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  e. 
Fin )
11761, 67, 115, 116fsumss 13527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) ) ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) )
118117sumeq2dv 13505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) ) )
119 fzfid 12063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  e. 
Fin )
120 fzfid 12063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... N )  e. 
Fin )
121119, 120, 62, 65fsum2mul 13584 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
12239, 42addcomd 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  =  ( N  +  M ) )
12341, 50syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
12438nn0zd 10976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
125 eluzadd 11122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  +  M )  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )
126123, 124, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) ) )
12739addid2d 9792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
128127fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
129126, 128eleqtrd 2557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
130122, 129eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
131 fzss2 11735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  C_  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
133132adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... M )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
13462adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  e.  CC )
13533adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) )  ->  ( ( B `  n )  x.  ( z ^ n
) )  e.  CC )
136134, 135mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
0 ... M ) )  /\  n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) )  e.  CC )
137116, 136fsumcl 13535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... M
) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  e.  CC )
138 eldifn 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M ) )
139138adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... M
) )
140 eldifi 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
141140, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N ) )  \ 
( 0 ... M
) )  ->  k  e.  NN0 )
142141adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
143 peano2nn0 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
14438, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
145144, 50syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
146 uzsplit 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0 ... ( ( M  +  1 )  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
14850, 147syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... ( ( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
149 pncan 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
15039, 79, 149sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
151150oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... M ) )
152151uneq1d 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( ( M  + 
1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
153148, 152eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
154153ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  NN0  =  ( ( 0 ... M
)  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
155142, 154eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  k  e.  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
156 elun 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
157155, 156sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... M
)  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
158157ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 0 ... M )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
159139, 158mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
160 ffun 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  Fun 
A )
16119, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Fun  A )
162 ssun2 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  C_  (
( 0 ... (
( M  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
163162, 148syl5sseqr 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  NN0 )
164 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  dom 
A  =  NN0 )
16519, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  A  =  NN0 )
166163, 165sseqtr4d 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  dom  A )
167 funfvima2 6147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  A  /\  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) )  C_  dom  A )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) ) )
168161, 166, 167syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )  -> 
( A `  k
)  e.  ( A
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
169168ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) ) )
170159, 169mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) ) )
171 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
172171ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A " ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  { 0 } )
173170, 172eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  {
0 } )
174 elsni 4058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A `  k )  e.  { 0 }  ->  ( A `  k )  =  0 )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( A `  k )  =  0 )
176175oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  ( 0  x.  ( z ^ k ) ) )
177141, 23sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
178177mul02d 9789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( 0  x.  ( z ^
k ) )  =  0 )
179176, 178eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( z ^ k
) )  =  0 )
180179adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  =  0 )
181180oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
18233adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  e.  CC )
183182mul02d 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( B `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  0 )
184181, 183eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  (
( 0 ... ( M  +  N )
)  \  ( 0 ... M ) ) )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  0 )
185184sumeq2dv 13505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) ) 0 )
186 fzfid 12063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  e. 
Fin )
187186olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  ( (
0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )  \/  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  e.  Fin )
)
188 sumz 13524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) )  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) )  e. 
Fin )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) 0  =  0 )
189187, 188syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) 0  =  0 )
190185, 189eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( M  +  N
) )  \  (
0 ... M ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  k ) ) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  0 )
191 fzfid 12063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin )
192133, 137, 190, 191fsumss 13527 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... M
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k ) ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) ) ) )
193118, 121, 1923eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) sum_ n  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  k
) ) ( ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) )
194 fzfid 12063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
0 ... n )  e. 
Fin )
195 elfznn0 11782 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  n  e.  NN0 )
196195, 31sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  (
z ^ n )  e.  CC )
197 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  ph )
198 elfznn0 11782 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  k  e.  NN0 )
19919ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
200197, 198, 199syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
201 fznn0sub 11728 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 )
20227ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  -  k )  e. 
NN0 )  ->  ( B `  ( n  -  k ) )  e.  CC )
203197, 201, 202syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( B `  ( n  -  k
) )  e.  CC )
204200, 203mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( ( A `  k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  e.  CC )
205194, 196, 204fsummulc1 13580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^
n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) ) )
206 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  z  e.  CC )
207206, 198, 22syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ k )  e.  CC )
208 expcl 12164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  ( n  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( z ^ (
n  -  k ) )  e.  CC )
209206, 201, 208syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ ( n  -  k ) )  e.  CC )
210200, 207, 203, 209mul4d 9803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 ( n  -  k ) )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
( z ^ k
)  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
211206adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  z  e.  CC )
212201adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( n  -  k )  e. 
NN0 )
213198adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  k  e.  NN0 )
214211, 212, 213expaddd 12292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ ( k  +  ( n  -  k
) ) )  =  ( ( z ^
k )  x.  (
z ^ ( n  -  k ) ) ) )
215213nn0cnd 10866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  k  e.  CC )
216195ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  n  e.  NN0 )
217216nn0cnd 10866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  n  e.  CC )
218215, 217pncan3d 9945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( k  +  ( n  -  k ) )  =  n )
219218oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( z ^ ( k  +  ( n  -  k
) ) )  =  ( z ^ n
) )
220214, 219eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
z ^ k )  x.  ( z ^
( n  -  k
) ) )  =  ( z ^ n
) )
221220oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  x.  ( ( z ^ k )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) ) )
222210, 221eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... n ) )  ->  ( (
( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  ( ( B `
 ( n  -  k ) )  x.  ( z ^ (
n  -  k ) ) ) )  =  ( ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) ) )
223222sumeq2dv 13505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( ( A `  k )  x.  ( z ^
k ) )  x.  ( ( B `  ( n  -  k
) )  x.  (
z ^ ( n  -  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) )
224205, 223eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k
)  x.  ( B `
 ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^
n ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  (
n  -  k ) )  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
225224sumeq2dv 13505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( ( A `
 k )  x.  ( z ^ k
) )  x.  (
( B `  (
n  -  k ) )  x.  ( z ^ ( n  -  k ) ) ) ) )
22637, 193, 2253eqtr4rd 2519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) )
227 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( B `  n )  =  ( B `  k ) )
228 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
z ^ n )  =  ( z ^
k ) )
229227, 228oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( B `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  =  ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
230229cbvsumv 13498 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 n )  x.  ( z ^ n
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k
)  x.  ( z ^ k ) )
231230oveq2i 6306 . . . 4  |-  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  n )  x.  (
z ^ n ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k )  x.  (
z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( B `
 k )  x.  ( z ^ k
) ) )
232226, 231syl6eq 2524 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ( sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( A `
 k )  x.  ( B `  (
n  -  k ) ) )  x.  (
z ^ n ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
233232mpteq2dva 4539 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... M ) ( ( A `  k
)  x.  ( z ^ k ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( B `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
2349, 233eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
n  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) (
sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( A `  k )  x.  ( B `  ( n  -  k ) ) )  x.  ( z ^ n ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   {csn 4033    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   "cima 5008   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   Fincfn 7528   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   ^cexp 12146   sum_csu 13488  Polycply 22449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489
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