MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul4d 10127
Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul4d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addcomd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addcand.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 mul4d.4 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 mul4 10084 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1319 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813   · cmul 9820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-mulcl 9877  ax-mulcom 9879  ax-mulass 9881
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552
This theorem is referenced by:  remullem  13716  absmul  13882  binomrisefac  14612  cosadd  14734  tanadd  14736  eulerthlem2  15325  mul4sqlem  15495  odadd2  18075  itgmulc2  23406  plymullem1  23774  chordthmlem4  24362  heron  24365  quartlem1  24384  dchrmulcl  24774  bposlem9  24817  lgsdir  24857  lgsdi  24859  lgsquad2lem1  24909  chtppilimlem1  24962  rplogsumlem1  24973  dchrvmasumlem1  24984  dchrvmasum2lem  24985  chpdifbndlem1  25042  pntlemf  25094  brbtwn2  25585  colinearalglem4  25589  madjusmdetlem4  29224  circum  30822  itgmulc2nc  32648  pellexlem6  36416  pell1234qrmulcl  36437  rmxyadd  36504  wallispi2lem2  38965  dirkertrigeqlem3  38993  cevathlem1  39705
  Copyright terms: Public domain W3C validator