MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcl 26951
Description: An inner product is a complex number. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipcl ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dipcl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2610 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2610 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2610 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 ipcl.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval 26942 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4))
7 fzfid 12634 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1...4) ∈ Fin)
8 ax-icn 9874 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
9 elfznn 12241 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
109nnnn0d 11228 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11 expcl 12740 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
128, 10, 11sylancr 694 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...4) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
141, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 26945 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (i↑𝑘) ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1512, 14sylan2 490 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 9939 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
177, 16fsumcl 14311 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
18 4cn 10975 . . . 4 4 ∈ ℂ
19 4ne0 10994 . . . 4 4 ≠ 0
20 divcl 10570 . . . 4 ((Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
2118, 19, 20mp3an23 1408 . . 3 𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
2217, 21syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
236, 22eqeltrd 2688 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   · cmul 9820   / cdiv 10563  2c2 10947  4c4 10949  0cn0 11169  ...cfz 12197  cexp 12722  Σcsu 14264  NrmCVeccnv 26823   +𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·𝑠OLD cns 26826  normCVcnmcv 26829  ·𝑖OLDcdip 26939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-grpo 26731  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-dip 26940
This theorem is referenced by:  ipf  26952  ipipcj  26954  ip1ilem  27065  ip2i  27067  ipasslem1  27070  ipasslem2  27071  ipasslem4  27073  ipasslem5  27074  ipasslem7  27075  ipasslem8  27076  ipasslem9  27077  ipasslem10  27078  ipasslem11  27079  dipdi  27082  ip2dii  27083  dipassr  27085  dipsubdir  27087  dipsubdi  27088  pythi  27089  siilem1  27090  siilem2  27091  siii  27092  ipblnfi  27095  ip2eqi  27096  htthlem  27158
  Copyright terms: Public domain W3C validator