Theorem expcld 12870

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 12740	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  absexpz  13893  binomlem  14400  incexclem  14407  incexc  14408  incexc2  14409  geoserg  14437  pwm1geoser  14439  geolim  14440  geolim2  14441  geo2sum2  14444  geomulcvg  14446  bpolycl  14622  bpolydiflem  14624  efaddlem  14662  oexpneg  14907  pwp1fsum  14952  oddpwp1fsum  14953  cphipval  22850  dvexp3  23545  ply1termlem  23763  dgrcolem2  23834  dvply1  23843  aareccl  23885  aalioulem1  23891  taylfvallem1  23915  tayl0  23920  dvtaylp  23928  taylthlem2  23932  radcnvlem1  23971  pserulm  23980  logtayl  24206  cxpeq  24298  atantayl2  24465  atantayl3  24466  dfef2  24497  ftalem1  24599  ftalem2  24600  ftalem5  24603  basellem4  24610  logexprlim  24750  psgnfzto1st  29186  madjusmdetlem4  29224  oddpwdc  29743  eulerpartlemgs2  29769  signsplypnf  29953  signsply0  29954  bcprod  30877  knoppcnlem4  31656  knoppcnlem10  31662  knoppndvlem2  31674  knoppndvlem6  31678  knoppndvlem7  31679  knoppndvlem8  31680  knoppndvlem9  31681  knoppndvlem10  31682  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem17  31689  jm2.18  36573  jm2.22  36580  jm2.23  36581  itgpowd  36819  radcnvrat  37535  binomcxplemnn0  37570  binomcxplemnotnn0  37577  expcnfg  38658  fprodexp  38661  climexp  38672  dvsinexp  38798  dvxpaek  38830  dvnxpaek  38832  ibliccsinexp  38842  iblioosinexp  38844  itgsinexplem1  38845  itgsinexp  38846  iblsplit  38858  stoweidlem1  38894  stoweidlem7  38900  wallispi2lem2  38965  wallispi2  38966  stirlinglem3  38969  stirlinglem4  38970  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  stirlinglem8  38974  stirlinglem10  38976  stirlinglem11  38977  stirlinglem13  38979  stirlinglem14  38980  stirlinglem15  38981  elaa2lem  39126  etransclem1  39128  etransclem4  39131  etransclem8  39135  etransclem18  39145  etransclem20  39147  etransclem21  39148  etransclem23  39150  etransclem35  39162  etransclem41  39168  etransclem46  39173  etransclem48  39175  pwdif  40039  pwm1geoserALT  40040  2pwp1prm  40041  lighneallem4  40065  oexpnegALTV  40126  altgsumbcALT  41924  dignn0flhalflem1  42207  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212