MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oexpneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oexpneg 14907
Description: The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
oexpneg ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-𝐴𝑁) = -(𝐴𝑁))

Proof of Theorem oexpneg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 11276 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2 odd2np1 14903 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
43biimpa 500 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
543adant1 1072 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6 simpl1 1057 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 simprr 792 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
8 simpl2 1058 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
98nncnd 10913 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10 1cnd 9935 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
11 2z 11286 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
12 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
13 zmulcl 11303 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
1411, 12, 13sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
1514zcnd 11359 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
169, 10, 15subadd2d 10290 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
177, 16mpbird 246 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) = (2 · 𝑛))
18 nnm1nn0 11211 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
198, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2017, 19eqeltrrd 2689 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
216, 20expcld 12870 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
2221, 6mulneg2d 10363 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴))
23 sqneg 12785 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
246, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2524oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑2)↑𝑛) = ((𝐴↑2)↑𝑛))
266negcld 10258 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -𝐴 ∈ ℂ)
27 2re 10967 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
2912zred 11358 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
30 2pos 10989 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 < 2)
3220nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
33 prodge0 10749 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝑛)
3428, 29, 31, 32, 33syl22anc 1319 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 0 ≤ 𝑛)
35 elnn0z 11267 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
3612, 34, 35sylanbrc 695 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
37 2nn0 11186 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → 2 ∈ ℕ0)
3926, 36, 38expmuld 12873 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑(2 · 𝑛)) = ((-𝐴↑2)↑𝑛))
406, 36, 38expmuld 12873 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑(2 · 𝑛)) = ((𝐴↑2)↑𝑛))
4125, 39, 403eqtr4d 2654 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑(2 · 𝑛)) = (𝐴↑(2 · 𝑛)))
4241oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴))
4326, 20expp1d 12871 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴))
447oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = (-𝐴𝑁))
4543, 44eqtr3d 2646 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((-𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = (-𝐴𝑁))
4642, 45eqtr3d 2646 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · -𝐴) = (-𝐴𝑁))
4722, 46eqtr3d 2646 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = (-𝐴𝑁))
486, 20expp1d 12871 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴))
497oveq2d 6565 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) = (𝐴𝑁))
5048, 49eqtr3d 2646 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → ((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = (𝐴𝑁))
5150negeqd 10154 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → -((𝐴↑(2 · 𝑛)) · 𝐴) = -(𝐴𝑁))
5247, 51eqtr3d 2646 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)) → (-𝐴𝑁) = -(𝐴𝑁))
535, 52rexlimddv 3017 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-𝐴𝑁) = -(𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cexp 12722  cdvds 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723  df-dvds 14822
This theorem is referenced by:  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  mcubic  24374  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem4  24903  m1lgs  24913  stirlinglem5  38971  2pwp1prm  40041
  Copyright terms: Public domain W3C validator