MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcld Structured version   Unicode version

Theorem expcld 12366
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 expcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 expcl 12240 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1872  (class class class)co 6249   CCcc 9488   NN0cn0 10820   ^cexp 12222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-seq 12164  df-exp 12223
This theorem is referenced by:  absexpz  13312  binomlem  13830  incexclem  13837  incexc  13838  incexc2  13839  geoserg  13867  geolim  13869  geolim2  13870  geo2sum2  13873  geomulcvg  13875  bpolycl  14048  bpolydiflem  14050  efaddlem  14090  oexpneg  14311  dvexp3  22872  ply1termlem  23099  dgrcolem2  23170  dvply1  23179  aareccl  23224  aalioulem1  23230  taylfvallem1  23254  tayl0  23259  dvtaylp  23267  taylthlem2  23271  radcnvlem1  23310  pserulm  23319  logtayl  23547  cxpeq  23639  atantayl2  23806  atantayl3  23807  dfef2  23838  ftalem1  23939  ftalem2  23940  ftalem5  23943  ftalem5OLD  23945  basellem4  23952  logexprlim  24095  psgnfzto1st  28570  madjusmdetlem4  28608  oddpwdc  29139  eulerpartlemgs2  29165  signsplypnf  29391  signsply0  29392  bcprod  30325  jm2.18  35756  jm2.22  35763  jm2.23  35764  itgpowd  36012  radcnvrat  36576  binomcxplemnn0  36611  binomcxplemnotnn0  36618  expcnfg  37554  fprodexp  37557  climexp  37566  dvsinexp  37663  dvxpaek  37698  dvnxpaek  37700  ibliccsinexp  37710  iblioosinexp  37712  itgsinexplem1  37713  itgsinexp  37714  iblsplit  37726  stoweidlem1  37744  stoweidlem7  37750  wallispi2lem2  37817  wallispi2  37818  stirlinglem3  37821  stirlinglem4  37822  stirlinglem5  37823  stirlinglem7  37825  stirlinglem8  37826  stirlinglem10  37828  stirlinglem11  37829  stirlinglem13  37831  stirlinglem14  37832  stirlinglem15  37833  elaa2lem  37980  elaa2lemOLD  37981  etransclem1  37983  etransclem4  37986  etransclem8  37990  etransclem18  38000  etransclem20  38002  etransclem21  38003  etransclem23  38005  etransclem35  38017  etransclem41  38023  etransclem46  38028  etransclem48OLD  38030  etransclem48  38031  oexpnegALTV  38619  altgsumbcALT  39737  dignn0flhalflem1  40029  nn0sumshdiglemA  40033  nn0sumshdiglemB  40034
  Copyright terms: Public domain W3C validator