MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcld Structured version   Unicode version

Theorem expcld 12128
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 expcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 expcl 12003 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758  (class class class)co 6203   CCcc 9394   NN0cn0 10693   ^cexp 11985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-seq 11927  df-exp 11986
This theorem is referenced by:  absexpz  12915  binomlem  13413  incexclem  13420  incexc  13421  incexc2  13422  geoserg  13449  geolim  13451  geolim2  13452  geo2sum2  13455  geomulcvg  13457  efaddlem  13499  oexpneg  13716  dvexp3  21586  ply1termlem  21807  dgrcolem2  21877  dvply1  21886  aareccl  21928  aalioulem1  21934  taylfvallem1  21958  tayl0  21963  dvtaylp  21971  taylthlem2  21975  radcnvlem1  22014  pserulm  22023  logtayl  22241  cxpeq  22331  atantayl2  22469  atantayl3  22470  dfef2  22500  ftalem1  22546  ftalem2  22547  ftalem5  22550  basellem4  22557  logexprlim  22700  oddpwdc  26901  eulerpartlemgs2  26927  signsplypnf  27115  signsply0  27116  bpolycl  28359  bpolydiflem  28361  jm2.18  29505  jm2.22  29512  jm2.23  29513  itgpowd  29758  expcnfg  29941  climexp  29946  dvsinexp  29955  ibliccsinexp  29959  iblioosinexp  29961  itgsinexplem1  29962  itgsinexp  29963  stoweidlem1  29964  stoweidlem7  29970  wallispi2lem2  30035  wallispi2  30036  stirlinglem3  30039  stirlinglem4  30040  stirlinglem5  30041  stirlinglem7  30043  stirlinglem8  30044  stirlinglem10  30046  stirlinglem11  30047  stirlinglem13  30049  stirlinglem14  30050  stirlinglem15  30051  altgsumbcALT  30918
  Copyright terms: Public domain W3C validator