MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcld Structured version   Unicode version

Theorem expcld 12000
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 expcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 expcl 11875 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   CCcc 9272   NN0cn0 10571   ^cexp 11857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-seq 11799  df-exp 11858
This theorem is referenced by:  absexpz  12786  binomlem  13284  incexclem  13291  incexc  13292  incexc2  13293  geoserg  13320  geolim  13322  geolim2  13323  geo2sum2  13326  geomulcvg  13328  efaddlem  13370  oexpneg  13587  dvexp3  21425  ply1termlem  21646  dgrcolem2  21716  dvply1  21725  aareccl  21767  aalioulem1  21773  taylfvallem1  21797  tayl0  21802  dvtaylp  21810  taylthlem2  21814  radcnvlem1  21853  pserulm  21862  logtayl  22080  cxpeq  22170  atantayl2  22308  atantayl3  22309  dfef2  22339  ftalem1  22385  ftalem2  22386  ftalem5  22389  basellem4  22396  logexprlim  22539  oddpwdc  26689  eulerpartlemgs2  26715  signsplypnf  26903  signsply0  26904  bpolycl  28146  bpolydiflem  28148  jm2.18  29290  jm2.22  29297  jm2.23  29298  itgpowd  29543  expcnfg  29726  climexp  29731  dvsinexp  29740  ibliccsinexp  29744  iblioosinexp  29746  itgsinexplem1  29747  itgsinexp  29748  stoweidlem1  29749  stoweidlem7  29755  wallispi2lem2  29820  wallispi2  29821  stirlinglem3  29824  stirlinglem4  29825  stirlinglem5  29826  stirlinglem7  29828  stirlinglem8  29829  stirlinglem10  29831  stirlinglem11  29832  stirlinglem13  29834  stirlinglem14  29835  stirlinglem15  29836  altgsumbcALT  30701
  Copyright terms: Public domain W3C validator