Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climexp 38672
 Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1 𝑘𝜑
climexp.2 𝑘𝐹
climexp.3 𝑘𝐻
climexp.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
climexp.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climexp.6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
climexp.7 (𝜑𝐹𝐴)
climexp.8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
climexp.9 (𝜑𝐻𝑉)
climexp.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁))
Assertion
Ref Expression
climexp (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climexp.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climexp.8 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4 eqid 2610 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54expcn 22483 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
74cncfcn1 22521 . . . . 5 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
86, 7syl6eleqr 2699 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9 climexp.6 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
10 climexp.7 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
11 climcl 14078 . . . . 5 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 22511 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘𝐴))
14 eqidd 2611 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
15 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
1615oveq1d 6564 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (𝑥𝑁) = (𝐴𝑁))
1712, 3expcld 12870 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
1814, 16, 12, 17fvmptd 6197 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘𝐴) = (𝐴𝑁))
1913, 18breqtrd 4609 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴𝑁))
20 climexp.9 . . 3 (𝜑𝐻𝑉)
21 cnex 9896 . . . . 5 ℂ ∈ V
2221mptex 6390 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ V
23 fvex 6113 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
241, 23eqeltri 2684 . . . . 5 𝑍 ∈ V
25 fex 6394 . . . . 5 ((𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
269, 24, 25sylancl 693 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
27 coexg 7010 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
2822, 26, 27sylancr 694 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ∈ V)
29 eqidd 2611 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
30 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑥 = (𝐹𝑗)) → 𝑥 = (𝐹𝑗))
3130oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑥 = (𝐹𝑗)) → (𝑥𝑁) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
329ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
333adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3432, 33expcld 12870 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹𝑗)↑𝑁) ∈ ℂ)
3529, 31, 32, 34fvmptd 6197 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
36 fvco3 6185 . . . . 5 ((𝐹:𝑍⟶ℂ ∧ 𝑗𝑍) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹)‘𝑗) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑗)))
379, 36sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹)‘𝑗) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁))‘(𝐹𝑗)))
38 climexp.1 . . . . . . 7 𝑘𝜑
39 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
4038, 39nfan 1816 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
41 climexp.3 . . . . . . . 8 𝑘𝐻
42 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
4341, 42nffv 6110 . . . . . . 7 𝑘(𝐻𝑗)
44 climexp.2 . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
4544, 42nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹𝑗)
46 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘
47 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘𝑁
4845, 46, 47nfov 6575 . . . . . . 7 𝑘((𝐹𝑗)↑𝑁)
4943, 48nfeq 2762 . . . . . 6 𝑘(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁)
5040, 49nfim 1813 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
51 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
5251anbi2d 736 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
53 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑗))
54 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
5554oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)↑𝑁) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
5653, 55eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁)))
5752, 56imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))))
58 climexp.10 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘)↑𝑁))
5950, 57, 58chvar 2250 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗)↑𝑁))
6035, 37, 593eqtr4rd 2655 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹)‘𝑗))
611, 20, 28, 2, 60climeq 14146 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐴𝑁) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∘ 𝐹) ⇝ (𝐴𝑁)))
6219, 61mpbird 246 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ↑cexp 12722   ⇝ cli 14063  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567   Cn ccn 20838  –cn→ccncf 22487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489 This theorem is referenced by:  stirlinglem8  38974
 Copyright terms: Public domain W3C validator