Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodexp 38661
 Description: Positive integer exponentiation of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodexp.kph 𝑘𝜑
fprodexp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fprodexp.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodexp.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodexp (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodexp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 14478 . . 3 (𝑥 = ∅ → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁))
2 prodeq1 14478 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
32oveq1d 6564 . . 3 (𝑥 = ∅ → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁))
41, 3eqeq12d 2625 . 2 (𝑥 = ∅ → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁)))
5 prodeq1 14478 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁))
6 prodeq1 14478 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
76oveq1d 6564 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁))
85, 7eqeq12d 2625 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)))
9 prodeq1 14478 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁))
10 prodeq1 14478 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
1110oveq1d 6564 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁))
129, 11eqeq12d 2625 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁)))
13 prodeq1 14478 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁))
14 prodeq1 14478 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
1514oveq1d 6564 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁))
1613, 15eqeq12d 2625 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁)))
17 fprodexp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1817nn0zd 11356 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
19 1exp 12751 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
2120eqcomd 2616 . . 3 (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
22 prod0 14512 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = 1
2322a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = 1)
24 prod0 14512 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
2524oveq1i 6559 . . . 4 (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁) = (1↑𝑁)
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁) = (1↑𝑁))
2721, 23, 263eqtr4d 2654 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁))
28 fprodexp.kph . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
29 nfv 1830 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
3028, 29nfan 1816 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)))
31 fprodexp.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
34 ssfi 8065 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
3532, 33, 34syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
3635adantrr 749 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
3833sselda 3568 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
39 fprodexp.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4037, 38, 39syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4140adantlrr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4230, 36, 41fprodclf 14562 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
43 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝜑)
44 simprr 792 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
4544eldifad 3552 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
46 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑧𝐴
4728, 46nfan 1816 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑧𝐴)
48 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
4948nfel1 2765 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
5047, 49nfim 1813 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
51 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝐴𝑧𝐴))
5251anbi2d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴)))
53 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
5453eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5552, 54imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑧 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
5650, 55, 39chvar 2250 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5743, 45, 56syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59 mulexp 12761 . . . . . . 7 ((∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
6042, 57, 58, 59syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
6160eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁))
6261adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁))
63 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘
64 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘𝑁
6548, 63, 64nfov 6575 . . . . . . 7 𝑘(𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)
6644eldifbd 3553 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
6717ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6840, 67expcld 12870 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
6968adantlrr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
7053oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁))
7157, 58expcld 12870 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁) ∈ ℂ)
7230, 65, 36, 44, 66, 69, 70, 71fprodsplitsn 14559 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7372adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
74 oveq1 6556 . . . . . 6 (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) → (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7574adantl 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7673, 75eqtrd 2644 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7730, 48, 36, 44, 66, 41, 53, 57fprodsplitsn 14559 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
7877adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
7978oveq1d 6564 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁))
8062, 76, 793eqtr4d 2654 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁))
8180ex 449 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁)))
824, 8, 12, 16, 27, 81, 31findcard2d 8087 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  ⦋csb 3499   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  1c1 9816   · cmul 9820  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  ∏cprod 14474 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475 This theorem is referenced by:  etransclem35  39162
 Copyright terms: Public domain W3C validator