Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem10 31682
 Description: Lemma for knoppndv 31695. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem10.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem10.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem10.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem10.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem10.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem10.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem10.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem10.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem10 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐵,𝑛,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem knoppndvlem10
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem10.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppndvlem10.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppndvlem10.b . . . . . . 7 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4 knoppndvlem10.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
6 knoppndvlem10.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8 knoppndvlem10.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98peano2zd 11361 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
11 knoppndvlem10.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 notnot 135 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑀 → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑀)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑀)
158adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
16 oddp1even 14906 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
1814, 17mtbid 313 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ (𝑀 + 1))
191, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 18knoppndvlem9 31681 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐵)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
20 knoppndvlem10.a . . . . . . 7 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
2114notnotrd 127 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀)
221, 2, 20, 5, 7, 15, 12, 21knoppndvlem8 31680 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = 0)
2319, 22oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽)) = (((𝐶𝐽) / 2) − 0))
244knoppndvlem3 31675 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
2524simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2625recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2726, 6expcld 12870 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
28 2cnd 10970 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
29 2ne0 10990 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3127, 28, 30divcld 10680 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐽) / 2) ∈ ℂ)
3231subid1d 10260 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
3332adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
3423, 33eqtrd 2644 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽)) = ((𝐶𝐽) / 2))
3534fveq2d 6107 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
363a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
376nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3811, 37, 9knoppndvlem1 31673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
3936, 38eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
401, 2, 11, 25, 39, 6knoppcnlem3 31655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℝ)
4140recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℂ)
4220a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4311, 37, 8knoppndvlem1 31673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
4442, 43eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
451, 2, 11, 25, 44, 6knoppcnlem3 31655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℝ)
4645recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℂ)
4741, 46abssubd 14040 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
4847adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
494adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
506adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
518adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
53 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
541, 2, 20, 49, 50, 51, 52, 53knoppndvlem9 31681 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
559adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
5651, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
5753, 56mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (𝑀 + 1))
581, 2, 3, 49, 50, 55, 52, 57knoppndvlem8 31680 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐵)‘𝐽) = 0)
5954, 58oveq12d 6567 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) = (((𝐶𝐽) / 2) − 0))
6032adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
6159, 60eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) = ((𝐶𝐽) / 2))
6261fveq2d 6107 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6348, 62eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6435, 63pm2.61dan 828 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6527, 28, 30absdivd 14042 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝐽) / 2)) = ((abs‘(𝐶𝐽)) / (abs‘2)))
6626, 6absexpd 14039 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
67 0le2 10988 . . . . . 6 0 ≤ 2
68 2re 10967 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
6968absidi 13965 . . . . . 6 (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
7067, 69ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘2) = 2
7170a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (abs‘2) = 2)
7266, 71oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝐽)) / (abs‘2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7365, 72eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7464, 73eqtrd 2644 1 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  (,)cioo 12046  ⌊cfl 12453  ↑cexp 12722  abscabs 13822   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822 This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  31687
 Copyright terms: Public domain W3C validator