Theorem etransclem18 39145

Description: The given function is integrable . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem18.s	⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem18.x	⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
etransclem18.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem18.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem18.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem18.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
etransclem18.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
etransclem18	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem18

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 12130	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3		ioombl 23140	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5		ere 14658	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
6	5	recni 9931	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → e ∈ ℂ)
8		etransclem18.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		etransclem18.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	iccssred 38574	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11	10	sselda 3568	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	negcld 10258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
14	7, 13	cxpcld 24254	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
15		etransclem18.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16		etransclem18.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
17	15, 16	dvdmsscn 38826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18		etransclem18.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
19		etransclem18.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
20	17, 18, 19	etransclem8 39135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
22	21, 11	ffvelrnd 6268	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
23	14, 22	mulcld 9939	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
24		eqidd 2611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)))
25		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (e↑𝑐𝑦) = (e↑𝑐-𝑥))
27	10, 17	sstrd 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
28	27	sselda 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
29	28	negcld 10258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -𝑥 ∈ ℂ)
30	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → e ∈ ℂ)
31		negcl 10160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
32	30, 31	cxpcld 24254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
34	24, 26, 29, 33	fvmptd 6197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥) = (e↑𝑐-𝑥))
35	34	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (e↑𝑐-𝑥) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥))
36	35	mpteq2dva 4672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)))
37		epr 14775	. . . . . . . . 9 ⊢ e ∈ ℝ+
38		mnfxr 9975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → -∞ ∈ ℝ*)
40		0red 9920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
41		rpxr 11716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ∈ ℝ*)
42		rpgt0 11720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (e ∈ ℝ+ → 0 < e)
43	39, 40, 41, 42	gtnelioc 38559	. . . . . . . . 9 ⊢ (e ∈ ℝ+ → ¬ e ∈ (-∞(,]0))
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ e ∈ (-∞(,]0)
45		eldif 3550	. . . . . . . 8 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (-∞(,]0)))
46	6, 44, 45	mpbir2an 957	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
47		cxpcncf2 38786	. . . . . . 7 ⊢ (e ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48	46, 47	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
49		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥)
50	49	negcncf 22529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
51	27, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
52	48, 51	cncfmpt1f 22524	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (e↑𝑐𝑦))‘-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
53	36, 52	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (e↑𝑐-𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
54		ax-resscn 9872	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
56	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑃 ∈ ℕ)
57		etransclem18.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
58	57	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
59		etransclem6 39133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
60	19, 59	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑘)↑𝑃)))
61	55, 56, 58, 60, 11	etransclem13 39140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
62	61	mpteq2dva 4672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
63		fzfid 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
64	12	3adant3 1074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
65		elfzelz 12213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
66	65	zcnd 11359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
67	66	3ad2ant3 1077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
68	64, 67	subcld 10271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 − 𝑘) ∈ ℂ)
69		nnm1nn0 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
70	18, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
71	18	nnnn0d 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
72	70, 71	ifcld 4081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
73	72	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
74	68, 73	expcld 12870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
75		nfv 1830	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
76		ssid 3587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
78	27, 77	idcncfg 38757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
79	78	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
80	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
81	66	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
82	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ℂ ⊆ ℂ)
83	80, 81, 82	constcncfg 38756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
84	79, 83	subcncf 38754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥 − 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
85		expcncf 22533	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
86	72, 85	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
87	86	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝑘) → (𝑦↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
89	75, 84, 87, 82, 88	cncfcompt2 38785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
90	27, 63, 74, 89	fprodcncf 38787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝑥 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
91	62, 90	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
92	53, 91	mulcncf 23023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
93		cniccibl 23413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
94	8, 9, 92, 93	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
95	2, 4, 23, 94	iblss 23377	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℝ⁺crp 11708  (,)cioo 12046  (,]cioc 12047  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  ∏cprod 14474  eceu 14632   ↾_t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂ_fldccnfld 19567  –cn→ccncf 22487  volcvol 23039  𝐿¹cibl 23192  ↑_𝑐ccxp 24106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108

This theorem is referenced by:  etransclem23  39150  etransclem46  39173