knoppndvlem19 - Mathbox for Asger C. Ipsen

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Theorem knoppndvlem19 31691

Description: Lemma for knoppndv 31695. (Contributed by Asger C. Ipsen, 17-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
knoppndvlem19.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
knoppndvlem19.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
knoppndvlem19.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
knoppndvlem19.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem19.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
knoppndvlem19	⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑚 𝑚,𝐽 𝑚,𝐻 𝑚,𝑁 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑚) 𝐵(𝑚)

**Proof of Theorem knoppndvlem19**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem19.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℝ)
2		2re 10967	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		knoppndvlem19.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 10912	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	remulcld 9949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7		2pos 10989	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
9	4	nngt0d 10941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
10	3, 5, 8, 9	mulgt0d 10071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
11	10	gt0ne0d 10471	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
12		knoppndvlem19.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ₀)
13	12	nn0zd 11356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
14	13	znegcld 11360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
15	6, 11, 14	reexpclzd 12896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
16	3	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17	5	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16, 17, 11	mulne0bad 10561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
19	15, 3, 18	redivcld 10732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
20	6, 14, 10	3jca 1235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
21		expgt0 12755	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
23	15, 3, 22, 8	divgt0d 10838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
24	23	gt0ne0d 10471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
25	1, 19, 24	redivcld 10732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ)
26	25	flcld 12461	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℤ)
27		knoppndvlem19.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))
29		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
30	29	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
31	28, 30	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
32	31	breq1d 4593	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐴 ≤ 𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻))
33		knoppndvlem19.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
35	29	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
36	35	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
37	34, 36	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
38	37	breq2d 4595	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐻 ≤ 𝐵 ↔ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
39	32, 38	anbi12d 743	. . 3 ⊢ (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
40	39	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) → ((𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
41	26	zred 11358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ)
42		0red 9920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43	42, 19, 23	ltled 10064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
44		flle 12462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
45	25, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
46	41, 25, 19, 43, 45	lemul2ad 10843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
47	1	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
48	19	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
49	47, 48, 24	divcan2d 10682	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = 𝐻)
50	46, 49	breqtrd 4609	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻)
51	49	eqcomd 2616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
52		peano2re 10088	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
53	41, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
54		fllep1 12464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
55	25, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
56	25, 53, 19, 43, 55	lemul2ad 10843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
57	51, 56	eqbrtrd 4605	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
58	50, 57	jca 553	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
59	26, 40, 58	rspcedvd 3289	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝐻 ∧ 𝐻 ≤ 𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∃wrex 2897 class class class wbr 4583 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 < clt 9953 ≤ cle 9954 -cneg 10146 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ⌊cfl 12453 ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-sup 8231 df-inf 8232 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fl 12455 df-seq 12664 df-exp 12723

This theorem is referenced by: knoppndvlem21 31693

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