Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimrecltneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimrecltneg 39610
 Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with negative upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimrecltneg.x 𝑥𝜑
pimrecltneg.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltneg.n ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltneg.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
pimrecltneg.l (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
pimrecltneg (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Proof of Theorem pimrecltneg
StepHypRef Expression
1 pimrecltneg.x . . 3 𝑥𝜑
2 rabidim1 38318 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥𝐴)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥𝐴)
4 1red 9934 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5 pimrecltneg.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 pimrecltneg.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 < 0)
75, 6ltned 10052 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ≠ 0)
84, 5, 7redivcld 10732 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
98rexrd 9968 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
11 0xr 9965 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ*)
13 pimrecltneg.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
142, 13sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 rabidim2 38313 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
174adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 1 ∈ ℝ)
18 pimrecltneg.n . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
193, 18syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ≠ 0)
2014, 19rereccld 10731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
215adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 0red 9920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ)
236adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 < 0)
2420, 21, 22, 16, 23lttrd 10077 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 0)
2514, 19reclt0 38555 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
2624, 25mpbird 246 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 < 0)
2717, 14, 26, 21, 23ltdiv23neg 38558 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → ((1 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (1 / 𝐶) < 𝐵))
2816, 27mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
2910, 12, 14, 28, 26eliood 38567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
303, 29jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
31 rabid 3095 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
3230, 31sylibr 223 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
3332ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
3431simplbi 475 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥𝐴)
3534adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥𝐴)
369adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
3711a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 0 ∈ ℝ*)
3831simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
3938adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
4036, 37, 39ioogtlbd 38624 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
414adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 1 ∈ ℝ)
425adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 ∈ ℝ)
436adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 < 0)
4435, 13syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
4536, 37, 39iooltubd 38618 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 < 0)
4641, 42, 43, 44, 45ltdiv23neg 38558 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → ((1 / 𝐶) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐶))
4740, 46mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
4835, 47jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
49 rabid 3095 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
5048, 49sylibr 223 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
5150ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
5233, 51impbid 201 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
531, 52alrimi 2069 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
54 nfrab1 3099 . . 3 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
55 nfrab1 3099 . . 3 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}
5654, 55dfcleqf 38281 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
5753, 56sylibr 223 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   / cdiv 10563  (,)cioo 12046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-rp 11709  df-ioo 12050 This theorem is referenced by:  smfrec  39674
 Copyright terms: Public domain W3C validator