Theorem pimrecltneg 39610

Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with negative upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimrecltneg.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimrecltneg.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltneg.n	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltneg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
pimrecltneg.l	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)

Assertion

Ref	Expression
pimrecltneg	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Proof of Theorem pimrecltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimrecltneg.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabidim1 38318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4		1red 9934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5		pimrecltneg.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		pimrecltneg.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 0)
7	5, 6	ltned 10052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
8	4, 5, 7	redivcld 10732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 9968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
11		0xr 9965	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ*)
13		pimrecltneg.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	2, 13	sylan2 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		rabidim2 38313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
17	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 1 ∈ ℝ)
18		pimrecltneg.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
19	3, 18	syldan 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ≠ 0)
20	14, 19	rereccld 10731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
21	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
22		0red 9920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ)
23	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 < 0)
24	20, 21, 22, 16, 23	lttrd 10077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 0)
25	14, 19	reclt0 38555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
26	24, 25	mpbird 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 < 0)
27	17, 14, 26, 21, 23	ltdiv23neg 38558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → ((1 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (1 / 𝐶) < 𝐵))
28	16, 27	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
29	10, 12, 14, 28, 26	eliood 38567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
30	3, 29	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
31		rabid 3095	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
32	30, 31	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
33	32	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
34	31	simplbi 475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ 𝐴)
35	34	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
36	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
37	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 0 ∈ ℝ*)
38	31	simprbi 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
40	36, 37, 39	ioogtlbd 38624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
41	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 1 ∈ ℝ)
42	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 < 0)
44	35, 13	syldan 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
45	36, 37, 39	iooltubd 38618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 < 0)
46	41, 42, 43, 44, 45	ltdiv23neg 38558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → ((1 / 𝐶) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐶))
47	40, 46	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
48	35, 47	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
49		rabid 3095	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
50	48, 49	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
51	50	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
52	33, 51	impbid 201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
53	1, 52	alrimi 2069	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
54		nfrab1 3099	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
55		nfrab1 3099	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}
56	54, 55	dfcleqf 38281	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
57	53, 56	sylibr 223	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   / cdiv 10563  (,)cioo 12046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-rp 11709  df-ioo 12050

This theorem is referenced by:  smfrec  39674