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Theorem dvdivbd 37892
Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivbd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvdivbd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvdivbd.adv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
dvdivbd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
dvdivbd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
dvdivbd.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
dvdivbd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dvdivbd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvdivbd.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
dvdivbd.cbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  <_  U )
dvdivbd.bbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
dvdivbd.dbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  <_  T )
dvdivbd.abd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  <_  Q )
dvdivbd.bdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
dvdivbd.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  CC )
dvdivbd.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
dvdivbd.ele  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E  <_  ( abs `  B
) )
dvdivbd.f  |-  F  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvdivbd  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
Distinct variable groups:    E, b, x    F, b    Q, b, x    R, b, x    x, S    T, b, x    U, b, x    X, b, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( b)    A( x, b)    B( x, b)    C( x, b)    D( x, b)    S( b)    F( x)

Proof of Theorem dvdivbd
StepHypRef Expression
1 dvdivbd.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2 dvdivbd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31, 2remulcld 9689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  x.  R
)  e.  RR )
4 dvdivbd.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
5 dvdivbd.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
64, 5remulcld 9689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  x.  Q
)  e.  RR )
73, 6readdcld 9688 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  e.  RR )
8 dvdivbd.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
98rpred 11364 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
109resqcld 12480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
118rpcnd 11366 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
128rpgt0d 11367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  E )
1312gt0ne0d 10199 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
14 2z 10993 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1611, 13, 15expne0d 12460 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =/=  0 )
177, 10, 16redivcld 10457 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) )  e.  RR )
18 dvdivbd.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )
19 dvdivbd.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20 dvdivbd.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
21 dvdivbd.c . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
22 dvdivbd.adv . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
23 dvdivbd.b . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
24 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
2524abs00bd 13431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  -> 
( abs `  B
)  =  0 )
26 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  RR )
279adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  RR )
2823abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
2912adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <  E )
30 dvdivbd.ele . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E  <_  ( abs `  B
) )
3130r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  <_  ( abs `  B
) )
3226, 27, 28, 29, 31ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <  ( abs `  B
) )
3332gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  =/=  0 )
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  -> 
( abs `  B
)  =/=  0 )
3534neneqd 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  ->  -.  ( abs `  B
)  =  0 )
3625, 35pm2.65da 586 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  -.  B  =  0 )
3736neqned 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  =/=  0 )
38 eldifsn 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
3923, 37, 38sylanbrc 677 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
40 dvdivbd.d . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  CC )
41 dvdivbd.bdv . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
4219, 20, 21, 22, 39, 40, 41dvmptdiv 37886 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
4318, 42syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) )  /  ( B ^
2 ) ) ) )
4421, 23mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
4540, 20mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  x.  A )  e.  CC )
4644, 45subcld 10005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) )  e.  CC )
4723sqcld 12452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
48 sqne0 12379 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
4923, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
5037, 49mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B ^ 2 )  =/=  0 )
5146, 47, 50divcld 10405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
5243, 51fvmpt2d 5974 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )
5352fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  (
( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
5446, 47, 50absdivd 13594 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) )  /  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) ) )
5546abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  e.  RR )
567adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U  x.  R
)  +  ( T  x.  Q ) )  e.  RR )
578adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  RR+ )
5814a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  2  e.  ZZ )
5957, 58rpexpcld 12477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR+ )
6047abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( B ^
2 ) )  e.  RR )
6146absge0d 13583 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) ) )
6244abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  RR )
6345abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  e.  RR )
6462, 63readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) )  e.  RR )
6544, 45abs2dif2d 13597 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) ) )
663adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( U  x.  R )  e.  RR )
676adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( T  x.  Q )  e.  RR )
6821, 23absmuld 13593 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
6921abscld 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
701adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  RR )
712adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR )
7221absge0d 13583 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
7323absge0d 13583 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
74 dvdivbd.cbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  <_  U )
75 dvdivbd.bbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
7669, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75lemul12ad 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  <_ 
( U  x.  R
) )
7768, 76eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  <_ 
( U  x.  R
) )
7840, 20absmuld 13593 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  =  ( ( abs `  D
)  x.  ( abs `  A ) ) )
7940abscld 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  e.  RR )
804adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  T  e.  RR )
8120abscld 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
825adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  Q  e.  RR )
8340absge0d 13583 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  D
) )
8420absge0d 13583 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
85 dvdivbd.dbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  <_  T )
86 dvdivbd.abd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  <_  Q )
8779, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86lemul12ad 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  D
)  x.  ( abs `  A ) )  <_ 
( T  x.  Q
) )
8878, 87eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  <_ 
( T  x.  Q
) )
8962, 63, 66, 67, 77, 88le2addd 10253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) ) )
9055, 64, 56, 65, 89letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) ) )
91 2nn0 10910 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
9291a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  2  e.  NN0 )
9326, 27, 29ltled 9800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  E )
94 leexp1a 12369 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  ( abs `  B
)  e.  RR  /\  2  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  E  /\  E  <_  ( abs `  B ) ) )  ->  ( E ^
2 )  <_  (
( abs `  B
) ^ 2 ) )
9527, 28, 92, 93, 31, 94syl32anc 1300 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  B
) ^ 2 ) )
9623, 92absexpd 13591 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( B ^
2 ) )  =  ( ( abs `  B
) ^ 2 ) )
9795, 96breqtrrd 4422 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  <_ 
( abs `  ( B ^ 2 ) ) )
9855, 56, 59, 60, 61, 90, 97lediv12ad 11420 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) )  /  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
9954, 98eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
10053, 99eqbrtrd 4416 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
101100ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) ) )
102 breq2 4399 . . . 4  |-  ( b  =  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  (
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  /  ( E ^ 2 ) ) ) )
103102ralbidv 2829 . . 3  |-  ( b  =  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b  <->  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  (
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  /  ( E ^ 2 ) ) ) )
104103rspcev 3136 . 2  |-  ( ( ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
10517, 101, 104syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   ^cexp 12310   abscabs 13374    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  38150
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