Theorem dvdivbd 37795

Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdivbd.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvdivbd.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvdivbd.adv	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
dvdivbd.c	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
dvdivbd.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvdivbd.u	|- ( ph -> U e. RR )
dvdivbd.r	|- ( ph -> R e. RR )
dvdivbd.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvdivbd.q	|- ( ph -> Q e. RR )
dvdivbd.cbd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` C ) <_ U )
dvdivbd.bbd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) <_ R )
dvdivbd.dbd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` D ) <_ T )
dvdivbd.abd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` A ) <_ Q )
dvdivbd.bdv	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> D ) )
dvdivbd.d	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. CC )
dvdivbd.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
dvdivbd.ele	|- ( ph -> A. x e. X E <_ ( abs ` B ) )
dvdivbd.f	|- F = ( S _D ( x e. X |-> ( A / B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdivbd	|- ( ph -> E. b e. RR A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )

Distinct variable groups:   E, b, x   F, b   Q, b, x   R, b, x   x, S   T, b, x   U, b, x   X, b, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( b)   A( x, b)   B( x, b)   C( x, b)   D( x, b)   S( b)   F( x)

Proof of Theorem dvdivbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdivbd.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. RR )
2		dvdivbd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR )
3	1, 2	remulcld 9671	. . . 4 |- ( ph -> ( U x. R ) e. RR )
4		dvdivbd.t	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
5		dvdivbd.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. RR )
6	4, 5	remulcld 9671	. . . 4 |- ( ph -> ( T x. Q ) e. RR )
7	3, 6	readdcld 9670	. . 3 |- ( ph -> ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) e. RR )
8		dvdivbd.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
9	8	rpred 11341	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
10	9	resqcld 12442	. . 3 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
11	8	rpcnd 11343	. . . 4 |- ( ph -> E e. CC )
12	8	rpgt0d 11344	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < E )
13	12	gt0ne0d 10178	. . . 4 |- ( ph -> E =/= 0 )
14		2z 10969	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
15	14	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
16	11, 13, 15	expne0d 12422	. . 3 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) =/= 0 )
17	7, 10, 16	redivcld 10435	. 2 |- ( ph -> ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) e. RR )
18		dvdivbd.f	. . . . . . 7 |- F = ( S _D ( x e. X |-> ( A / B ) ) )
19		dvdivbd.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
20		dvdivbd.a	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
21		dvdivbd.c	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
22		dvdivbd.adv	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
23		dvdivbd.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
24		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
25	24	abs00bd 13354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> ( abs ` B ) = 0 )
26		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 e. RR )
27	9	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. RR )
28	23	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) e. RR )
29	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 < E )
30		dvdivbd.ele	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. X E <_ ( abs ` B ) )
31	30	r19.21bi 2757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E <_ ( abs ` B ) )
32	26, 27, 28, 29, 31	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 < ( abs ` B ) )
33	32	gt0ne0d 10178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) =/= 0 )
34	33	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> ( abs ` B ) =/= 0 )
35	34	neneqd 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> -. ( abs ` B ) = 0 )
36	25, 35	pm2.65da 580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. B = 0 )
37	36	neqned 2631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B =/= 0 )
38		eldifsn 4097	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( B e. CC /\ B =/= 0 ) )
39	23, 37, 38	sylanbrc 670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. ( CC \ { 0 } ) )
40		dvdivbd.d	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. CC )
41		dvdivbd.bdv	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> D ) )
42	19, 20, 21, 22, 39, 40, 41	dvmptdiv 37789	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A / B ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) )
43	18, 42	syl5eq 2497	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( x e. X |-> ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) )
44	21, 23	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( C x. B ) e. CC )
45	40, 20	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D x. A ) e. CC )
46	44, 45	subcld 9986	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) e. CC )
47	23	sqcld 12414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
48		sqne0 12341	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( ( B ^ 2 ) =/= 0 <-> B =/= 0 ) )
49	23, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( B ^ 2 ) =/= 0 <-> B =/= 0 ) )
50	37, 49	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B ^ 2 ) =/= 0 )
51	46, 47, 50	divcld 10383	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) e. CC )
52	43, 51	fvmpt2d 5959	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) )
53	52	fveq2d 5869	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) )
54	46, 47, 50	absdivd 13517	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) / ( abs ` ( B ^ 2 ) ) ) )
55	46	abscld 13498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) e. RR )
56	7	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) e. RR )
57	8	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. RR+ )
58	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 2 e. ZZ )
59	57, 58	rpexpcld 12439	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
60	47	abscld 13498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) e. RR )
61	46	absge0d 13506	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) )
62	44	abscld 13498	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) e. RR )
63	45	abscld 13498	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( D x. A ) ) e. RR )
64	62, 63	readdcld 9670	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` ( C x. B ) ) + ( abs ` ( D x. A ) ) ) e. RR )
65	44, 45	abs2dif2d 13520	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) <_ ( ( abs ` ( C x. B ) ) + ( abs ` ( D x. A ) ) ) )
66	3	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( U x. R ) e. RR )
67	6	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( T x. Q ) e. RR )
68	21, 23	absmuld 13516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) = ( ( abs ` C ) x. ( abs ` B ) ) )
69	21	abscld 13498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` C ) e. RR )
70	1	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> U e. RR )
71	2	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> R e. RR )
72	21	absge0d 13506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` C ) )
73	23	absge0d 13506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
74		dvdivbd.cbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` C ) <_ U )
75		dvdivbd.bbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) <_ R )
76	69, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75	lemul12ad 10549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` C ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( U x. R ) )
77	68, 76	eqbrtrd 4423	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) <_ ( U x. R ) )
78	40, 20	absmuld 13516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( D x. A ) ) = ( ( abs ` D ) x. ( abs ` A ) ) )
79	40	abscld 13498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` D ) e. RR )
80	4	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> T e. RR )
81	20	abscld 13498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` A ) e. RR )
82	5	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> Q e. RR )
83	40	absge0d 13506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` D ) )
84	20	absge0d 13506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
85		dvdivbd.dbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` D ) <_ T )
86		dvdivbd.abd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` A ) <_ Q )
87	79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86	lemul12ad 10549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` D ) x. ( abs ` A ) ) <_ ( T x. Q ) )
88	78, 87	eqbrtrd 4423	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( D x. A ) ) <_ ( T x. Q ) )
89	62, 63, 66, 67, 77, 88	le2addd 10232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` ( C x. B ) ) + ( abs ` ( D x. A ) ) ) <_ ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) )
90	55, 64, 56, 65, 89	letrd 9792	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) <_ ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) )
91		2nn0 10886	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
92	91	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 2 e. NN0 )
93	26, 27, 29	ltled 9783	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ E )
94		leexp1a 12331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E e. RR /\ ( abs ` B ) e. RR /\ 2 e. NN0 ) /\ ( 0 <_ E /\ E <_ ( abs ` B ) ) ) -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
95	27, 28, 92, 93, 31, 94	syl32anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
96	23, 92	absexpd 13514	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
97	95, 96	breqtrrd 4429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E ^ 2 ) <_ ( abs ` ( B ^ 2 ) ) )
98	55, 56, 59, 60, 61, 90, 97	lediv12ad 11397	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) / ( abs ` ( B ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
99	54, 98	eqbrtrd 4423	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
100	53, 99	eqbrtrd 4423	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
101	100	ralrimiva 2802	. 2 |- ( ph -> A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
102		breq2 4406	. . . 4 |- ( b = ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) ) )
103	102	ralbidv 2827	. . 3 |- ( b = ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) -> ( A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) ) )
104	103	rspcev 3150	. 2 |- ( ( ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) e. RR /\ A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) ) -> E. b e. RR A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
105	17, 101, 104	syl2anc 667	1 |- ( ph -> E. b e. RR A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   \ cdif 3401   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302   ^cexp 12272   abscabs 13297   _D cdv 22818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-t1 20330  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  38038