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Mathbox for Glauco Siliprandi |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > dvdivbd | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
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dvdivbd.s |
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dvdivbd.a |
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dvdivbd.adv |
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dvdivbd.c |
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dvdivbd.b |
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dvdivbd.u |
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dvdivbd.r |
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dvdivbd.t |
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dvdivbd.q |
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dvdivbd.cbd |
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dvdivbd.bbd |
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dvdivbd.dbd |
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dvdivbd.abd |
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dvdivbd.bdv |
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dvdivbd.d |
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dvdivbd.e |
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dvdivbd.ele |
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dvdivbd.f |
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dvdivbd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | dvdivbd.u |
. . . . 5
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2 | dvdivbd.r |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | remulcld 9671 |
. . . 4
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4 | dvdivbd.t |
. . . . 5
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5 | dvdivbd.q |
. . . . 5
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6 | 4, 5 | remulcld 9671 |
. . . 4
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7 | 3, 6 | readdcld 9670 |
. . 3
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8 | dvdivbd.e |
. . . . 5
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9 | 8 | rpred 11341 |
. . . 4
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10 | 9 | resqcld 12442 |
. . 3
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11 | 8 | rpcnd 11343 |
. . . 4
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12 | 8 | rpgt0d 11344 |
. . . . 5
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13 | 12 | gt0ne0d 10178 |
. . . 4
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14 | 2z 10969 |
. . . . 5
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15 | 14 | a1i 11 |
. . . 4
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16 | 11, 13, 15 | expne0d 12422 |
. . 3
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17 | 7, 10, 16 | redivcld 10435 |
. 2
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18 | dvdivbd.f |
. . . . . . 7
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19 | dvdivbd.s |
. . . . . . . 8
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20 | dvdivbd.a |
. . . . . . . 8
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21 | dvdivbd.c |
. . . . . . . 8
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22 | dvdivbd.adv |
. . . . . . . 8
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23 | dvdivbd.b |
. . . . . . . . 9
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24 | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 24 | abs00bd 13354 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 0red 9644 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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27 | 9 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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28 | 23 | abscld 13498 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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29 | 12 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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30 | dvdivbd.ele |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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31 | 30 | r19.21bi 2757 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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32 | 26, 27, 28, 29, 31 | ltletrd 9795 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | 32 | gt0ne0d 10178 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 33 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 34 | neneqd 2629 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 25, 35 | pm2.65da 580 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36 | neqned 2631 |
. . . . . . . . 9
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38 | eldifsn 4097 |
. . . . . . . . 9
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39 | 23, 37, 38 | sylanbrc 670 |
. . . . . . . 8
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40 | dvdivbd.d |
. . . . . . . 8
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41 | dvdivbd.bdv |
. . . . . . . 8
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42 | 19, 20, 21, 22, 39, 40, 41 | dvmptdiv 37789 |
. . . . . . 7
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43 | 18, 42 | syl5eq 2497 |
. . . . . 6
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44 | 21, 23 | mulcld 9663 |
. . . . . . . 8
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45 | 40, 20 | mulcld 9663 |
. . . . . . . 8
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46 | 44, 45 | subcld 9986 |
. . . . . . 7
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47 | 23 | sqcld 12414 |
. . . . . . 7
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48 | sqne0 12341 |
. . . . . . . . 9
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49 | 23, 48 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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50 | 37, 49 | mpbird 236 |
. . . . . . 7
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51 | 46, 47, 50 | divcld 10383 |
. . . . . 6
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52 | 43, 51 | fvmpt2d 5959 |
. . . . 5
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53 | 52 | fveq2d 5869 |
. . . 4
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54 | 46, 47, 50 | absdivd 13517 |
. . . . 5
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55 | 46 | abscld 13498 |
. . . . . 6
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56 | 7 | adantr 467 |
. . . . . 6
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57 | 8 | adantr 467 |
. . . . . . 7
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58 | 14 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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59 | 57, 58 | rpexpcld 12439 |
. . . . . 6
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60 | 47 | abscld 13498 |
. . . . . 6
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61 | 46 | absge0d 13506 |
. . . . . 6
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62 | 44 | abscld 13498 |
. . . . . . . 8
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63 | 45 | abscld 13498 |
. . . . . . . 8
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64 | 62, 63 | readdcld 9670 |
. . . . . . 7
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65 | 44, 45 | abs2dif2d 13520 |
. . . . . . 7
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66 | 3 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
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67 | 6 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
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68 | 21, 23 | absmuld 13516 |
. . . . . . . . 9
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69 | 21 | abscld 13498 |
. . . . . . . . . 10
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70 | 1 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
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71 | 2 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
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72 | 21 | absge0d 13506 |
. . . . . . . . . 10
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73 | 23 | absge0d 13506 |
. . . . . . . . . 10
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74 | dvdivbd.cbd |
. . . . . . . . . 10
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75 | dvdivbd.bbd |
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76 | 69, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75 | lemul12ad 10549 |
. . . . . . . . 9
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77 | 68, 76 | eqbrtrd 4423 |
. . . . . . . 8
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78 | 40, 20 | absmuld 13516 |
. . . . . . . . 9
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79 | 40 | abscld 13498 |
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80 | 4 | adantr 467 |
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81 | 20 | abscld 13498 |
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82 | 5 | adantr 467 |
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83 | 40 | absge0d 13506 |
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84 | 20 | absge0d 13506 |
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85 | dvdivbd.dbd |
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86 | dvdivbd.abd |
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87 | 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86 | lemul12ad 10549 |
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88 | 78, 87 | eqbrtrd 4423 |
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89 | 62, 63, 66, 67, 77, 88 | le2addd 10232 |
. . . . . . 7
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90 | 55, 64, 56, 65, 89 | letrd 9792 |
. . . . . 6
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91 | 2nn0 10886 |
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92 | 91 | a1i 11 |
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93 | 26, 27, 29 | ltled 9783 |
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94 | leexp1a 12331 |
. . . . . . . 8
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95 | 27, 28, 92, 93, 31, 94 | syl32anc 1276 |
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96 | 23, 92 | absexpd 13514 |
. . . . . . 7
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97 | 95, 96 | breqtrrd 4429 |
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98 | 55, 56, 59, 60, 61, 90, 97 | lediv12ad 11397 |
. . . . 5
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99 | 54, 98 | eqbrtrd 4423 |
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100 | 53, 99 | eqbrtrd 4423 |
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101 | 100 | ralrimiva 2802 |
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102 | breq2 4406 |
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103 | 102 | ralbidv 2827 |
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104 | 103 | rspcev 3150 |
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105 | 17, 101, 104 | syl2anc 667 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-inf2 8146 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 ax-pre-sup 9617 ax-addf 9618 ax-mulf 9619 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-int 4235 df-iun 4280 df-iin 4281 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-se 4794 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-isom 5591 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-of 6531 df-om 6693 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-supp 6915 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-1o 7182 df-2o 7183 df-oadd 7186 df-er 7363 df-map 7474 df-pm 7475 df-ixp 7523 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-fin 7573 df-fsupp 7884 df-fi 7925 df-sup 7956 df-inf 7957 df-oi 8025 df-card 8373 df-cda 8598 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-div 10270 df-nn 10610 df-2 10668 df-3 10669 df-4 10670 df-5 10671 df-6 10672 df-7 10673 df-8 10674 df-9 10675 df-10 10676 df-n0 10870 df-z 10938 df-dec 11052 df-uz 11160 df-q 11265 df-rp 11303 df-xneg 11409 df-xadd 11410 df-xmul 11411 df-icc 11642 df-fz 11785 df-fzo 11916 df-seq 12214 df-exp 12273 df-hash 12516 df-cj 13162 df-re 13163 df-im 13164 df-sqrt 13298 df-abs 13299 df-struct 15123 df-ndx 15124 df-slot 15125 df-base 15126 df-sets 15127 df-ress 15128 df-plusg 15203 df-mulr 15204 df-starv 15205 df-sca 15206 df-vsca 15207 df-ip 15208 df-tset 15209 df-ple 15210 df-ds 15212 df-unif 15213 df-hom 15214 df-cco 15215 df-rest 15321 df-topn 15322 df-0g 15340 df-gsum 15341 df-topgen 15342 df-pt 15343 df-prds 15346 df-xrs 15400 df-qtop 15406 df-imas 15407 df-xps 15410 df-mre 15492 df-mrc 15493 df-acs 15495 df-mgm 16488 df-sgrp 16527 df-mnd 16537 df-submnd 16583 df-mulg 16676 df-cntz 16971 df-cmn 17432 df-psmet 18962 df-xmet 18963 df-met 18964 df-bl 18965 df-mopn 18966 df-fbas 18967 df-fg 18968 df-cnfld 18971 df-top 19921 df-bases 19922 df-topon 19923 df-topsp 19924 df-cld 20034 df-ntr 20035 df-cls 20036 df-nei 20114 df-lp 20152 df-perf 20153 df-cn 20243 df-cnp 20244 df-t1 20330 df-haus 20331 df-tx 20577 df-hmeo 20770 df-fil 20861 df-fm 20953 df-flim 20954 df-flf 20955 df-xms 21335 df-ms 21336 df-tms 21337 df-cncf 21910 df-limc 22821 df-dv 22822 |
This theorem is referenced by: fourierdlem68 38038 |
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