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Theorem dvdivbd 37069
Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivbd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvdivbd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvdivbd.adv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
dvdivbd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
dvdivbd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
dvdivbd.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
dvdivbd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dvdivbd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvdivbd.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
dvdivbd.cbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  <_  U )
dvdivbd.bbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
dvdivbd.dbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  <_  T )
dvdivbd.abd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  <_  Q )
dvdivbd.bdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
dvdivbd.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  CC )
dvdivbd.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
dvdivbd.ele  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E  <_  ( abs `  B
) )
dvdivbd.f  |-  F  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvdivbd  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
Distinct variable groups:    E, b, x    F, b    Q, b, x    R, b, x    x, S    T, b, x    U, b, x    X, b, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( b)    A( x, b)    B( x, b)    C( x, b)    D( x, b)    S( b)    F( x)

Proof of Theorem dvdivbd
StepHypRef Expression
1 dvdivbd.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2 dvdivbd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31, 2remulcld 9653 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  x.  R
)  e.  RR )
4 dvdivbd.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
5 dvdivbd.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
64, 5remulcld 9653 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  x.  Q
)  e.  RR )
73, 6readdcld 9652 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  e.  RR )
8 dvdivbd.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
98rpred 11303 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
109resqcld 12378 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
118rpcnd 11305 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
128rpgt0d 11306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  E )
1312gt0ne0d 10156 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
14 2z 10936 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1611, 13, 15expne0d 12358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =/=  0 )
177, 10, 16redivcld 10412 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) )  e.  RR )
18 dvdivbd.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )
19 dvdivbd.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20 dvdivbd.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
21 dvdivbd.c . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
22 dvdivbd.adv . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
23 dvdivbd.b . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
24 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
2524abs00bd 13271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  -> 
( abs `  B
)  =  0 )
26 0red 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  RR )
279adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  RR )
2823abscld 13414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
2912adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <  E )
30 dvdivbd.ele . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E  <_  ( abs `  B
) )
3130r19.21bi 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  <_  ( abs `  B
) )
3226, 27, 28, 29, 31ltletrd 9775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <  ( abs `  B
) )
3332gt0ne0d 10156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  =/=  0 )
3433adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  -> 
( abs `  B
)  =/=  0 )
3534neneqd 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  ->  -.  ( abs `  B
)  =  0 )
3625, 35pm2.65da 574 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  -.  B  =  0 )
3736neqned 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  =/=  0 )
38 eldifsn 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
3923, 37, 38sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
40 dvdivbd.d . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  CC )
41 dvdivbd.bdv . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
4219, 20, 21, 22, 39, 40, 41dvmptdiv 37063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
4318, 42syl5eq 2455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) )  /  ( B ^
2 ) ) ) )
4421, 23mulcld 9645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
4540, 20mulcld 9645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  x.  A )  e.  CC )
4644, 45subcld 9966 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) )  e.  CC )
4723sqcld 12350 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
48 sqne0 12277 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
4923, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
5037, 49mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B ^ 2 )  =/=  0 )
5146, 47, 50divcld 10360 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
5243, 51fvmpt2d 5942 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )
5352fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  (
( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
5446, 47, 50absdivd 13433 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) )  /  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) ) )
5546abscld 13414 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  e.  RR )
567adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U  x.  R
)  +  ( T  x.  Q ) )  e.  RR )
578adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  RR+ )
5814a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  2  e.  ZZ )
5957, 58rpexpcld 12375 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR+ )
6047abscld 13414 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( B ^
2 ) )  e.  RR )
6146absge0d 13422 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) ) )
6244abscld 13414 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  RR )
6345abscld 13414 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  e.  RR )
6462, 63readdcld 9652 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) )  e.  RR )
6544, 45abs2dif2d 13436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) ) )
663adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( U  x.  R )  e.  RR )
676adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( T  x.  Q )  e.  RR )
6821, 23absmuld 13432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
6921abscld 13414 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
701adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  RR )
712adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR )
7221absge0d 13422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
7323absge0d 13422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
74 dvdivbd.cbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  <_  U )
75 dvdivbd.bbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
7669, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75lemul12ad 10527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  <_ 
( U  x.  R
) )
7768, 76eqbrtrd 4414 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  <_ 
( U  x.  R
) )
7840, 20absmuld 13432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  =  ( ( abs `  D
)  x.  ( abs `  A ) ) )
7940abscld 13414 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  e.  RR )
804adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  T  e.  RR )
8120abscld 13414 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
825adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  Q  e.  RR )
8340absge0d 13422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  D
) )
8420absge0d 13422 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
85 dvdivbd.dbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  <_  T )
86 dvdivbd.abd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  <_  Q )
8779, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86lemul12ad 10527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  D
)  x.  ( abs `  A ) )  <_ 
( T  x.  Q
) )
8878, 87eqbrtrd 4414 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  <_ 
( T  x.  Q
) )
8962, 63, 66, 67, 77, 88le2addd 10209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) ) )
9055, 64, 56, 65, 89letrd 9772 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) ) )
91 2nn0 10852 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
9291a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  2  e.  NN0 )
9326, 27, 29ltled 9764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  E )
94 leexp1a 12267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  ( abs `  B
)  e.  RR  /\  2  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  E  /\  E  <_  ( abs `  B ) ) )  ->  ( E ^
2 )  <_  (
( abs `  B
) ^ 2 ) )
9527, 28, 92, 93, 31, 94syl32anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  B
) ^ 2 ) )
9623, 92absexpd 13430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( B ^
2 ) )  =  ( ( abs `  B
) ^ 2 ) )
9795, 96breqtrrd 4420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  <_ 
( abs `  ( B ^ 2 ) ) )
9855, 56, 59, 60, 61, 90, 97lediv12ad 11358 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) )  /  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
9954, 98eqbrtrd 4414 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
10053, 99eqbrtrd 4414 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
101100ralrimiva 2817 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) ) )
102 breq2 4398 . . . 4  |-  ( b  =  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  (
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  /  ( E ^ 2 ) ) ) )
103102ralbidv 2842 . . 3  |-  ( b  =  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b  <->  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  (
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  /  ( E ^ 2 ) ) ) )
104103rspcev 3159 . 2  |-  ( ( ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
10517, 101, 104syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754    \ cdif 3410   {csn 3971   {cpr 3973   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521    + caddc 9524    x. cmul 9526    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840    / cdiv 10246   2c2 10625   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   RR+crp 11264   ^cexp 12208   abscabs 13214    _D cdv 22557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-t1 20106  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  37306
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