Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdivbd Structured version   Unicode version

Theorem dvdivbd 31674
Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivbd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvdivbd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvdivbd.adv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
dvdivbd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
dvdivbd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
dvdivbd.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
dvdivbd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dvdivbd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvdivbd.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
dvdivbd.cbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  <_  U )
dvdivbd.bbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
dvdivbd.dbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  <_  T )
dvdivbd.abd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  <_  Q )
dvdivbd.bdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
dvdivbd.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  CC )
dvdivbd.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
dvdivbd.ele  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E  <_  ( abs `  B
) )
dvdivbd.f  |-  F  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvdivbd  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
Distinct variable groups:    E, b, x    F, b    Q, b, x    R, b, x    x, S    T, b, x    U, b, x    X, b, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( b)    A( x, b)    B( x, b)    C( x, b)    D( x, b)    S( b)    F( x)

Proof of Theorem dvdivbd
StepHypRef Expression
1 dvdivbd.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2 dvdivbd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31, 2remulcld 9627 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  x.  R
)  e.  RR )
4 dvdivbd.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
5 dvdivbd.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
64, 5remulcld 9627 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  x.  Q
)  e.  RR )
73, 6readdcld 9626 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  e.  RR )
8 dvdivbd.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
98rpred 11267 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
109resqcld 12318 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
118rpcnd 11269 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
128rpgt0d 11270 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  E )
1312gt0ne0d 10124 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
14 2z 10903 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1611, 13, 15expne0d 12298 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =/=  0 )
177, 10, 16redivcld 10379 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) )  e.  RR )
18 dvdivbd.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )
19 dvdivbd.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20 dvdivbd.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
21 dvdivbd.c . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
22 dvdivbd.adv . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
23 dvdivbd.b . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
24 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
2524abs00bd 13106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  -> 
( abs `  B
)  =  0 )
26 0red 9600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  RR )
279adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  RR )
2823abscld 13249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
2912adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <  E )
30 dvdivbd.ele . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E  <_  ( abs `  B
) )
3130r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  <_  ( abs `  B
) )
3226, 27, 28, 29, 31ltletrd 9745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <  ( abs `  B
) )
3332gt0ne0d 10124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  =/=  0 )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  -> 
( abs `  B
)  =/=  0 )
3534neneqd 2645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  ->  -.  ( abs `  B
)  =  0 )
3625, 35pm2.65da 576 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  -.  B  =  0 )
3736neqned 2646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  =/=  0 )
38 eldifsn 4140 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
3923, 37, 38sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
40 dvdivbd.d . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  CC )
41 dvdivbd.bdv . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
4219, 20, 21, 22, 39, 40, 41dvmptdiv 31668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
4318, 42syl5eq 2496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) )  /  ( B ^
2 ) ) ) )
4421, 23mulcld 9619 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
4540, 20mulcld 9619 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  x.  A )  e.  CC )
4644, 45subcld 9936 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) )  e.  CC )
4723sqcld 12290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
48 sqne0 12216 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
4923, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
5037, 49mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B ^ 2 )  =/=  0 )
5146, 47, 50divcld 10327 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
5243, 51fvmpt2d 5950 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )
5352fveq2d 5860 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  (
( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
5446, 47, 50absdivd 13268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) )  /  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) ) )
5546abscld 13249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  e.  RR )
567adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U  x.  R
)  +  ( T  x.  Q ) )  e.  RR )
578adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  RR+ )
5814a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  2  e.  ZZ )
5957, 58rpexpcld 12315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR+ )
6047abscld 13249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( B ^
2 ) )  e.  RR )
6146absge0d 13257 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) ) )
6244abscld 13249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  RR )
6345abscld 13249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  e.  RR )
6462, 63readdcld 9626 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) )  e.  RR )
6544, 45abs2dif2d 13271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) ) )
663adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( U  x.  R )  e.  RR )
676adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( T  x.  Q )  e.  RR )
6821, 23absmuld 13267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
6921abscld 13249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
701adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  RR )
712adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR )
7221absge0d 13257 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
7323absge0d 13257 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
74 dvdivbd.cbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  <_  U )
75 dvdivbd.bbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
7669, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75lemul12ad 10495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  <_ 
( U  x.  R
) )
7768, 76eqbrtrd 4457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  <_ 
( U  x.  R
) )
7840, 20absmuld 13267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  =  ( ( abs `  D
)  x.  ( abs `  A ) ) )
7940abscld 13249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  e.  RR )
804adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  T  e.  RR )
8120abscld 13249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
825adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  Q  e.  RR )
8340absge0d 13257 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  D
) )
8420absge0d 13257 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
85 dvdivbd.dbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  <_  T )
86 dvdivbd.abd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  <_  Q )
8779, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86lemul12ad 10495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  D
)  x.  ( abs `  A ) )  <_ 
( T  x.  Q
) )
8878, 87eqbrtrd 4457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  <_ 
( T  x.  Q
) )
8962, 63, 66, 67, 77, 88le2addd 10177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) ) )
9055, 64, 56, 65, 89letrd 9742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) ) )
91 2nn0 10819 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
9291a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  2  e.  NN0 )
9326, 27, 29ltled 9736 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  E )
94 leexp1a 12206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  ( abs `  B
)  e.  RR  /\  2  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  E  /\  E  <_  ( abs `  B ) ) )  ->  ( E ^
2 )  <_  (
( abs `  B
) ^ 2 ) )
9527, 28, 92, 93, 31, 94syl32anc 1237 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  B
) ^ 2 ) )
9623, 92absexpd 13265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( B ^
2 ) )  =  ( ( abs `  B
) ^ 2 ) )
9795, 96breqtrrd 4463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  <_ 
( abs `  ( B ^ 2 ) ) )
9855, 56, 59, 60, 61, 90, 97lediv12ad 11322 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) )  /  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
9954, 98eqbrtrd 4457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
10053, 99eqbrtrd 4457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
101100ralrimiva 2857 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) ) )
102 breq2 4441 . . . 4  |-  ( b  =  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  (
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  /  ( E ^ 2 ) ) ) )
103102ralbidv 2882 . . 3  |-  ( b  =  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b  <->  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  (
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  /  ( E ^ 2 ) ) ) )
104103rspcev 3196 . 2  |-  ( ( ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
10517, 101, 104syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    \ cdif 3458   {csn 4014   {cpr 4016   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10213   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   RR+crp 11231   ^cexp 12148   abscabs 13049    _D cdv 22245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-t1 19793  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  31911
  Copyright terms: Public domain W3C validator