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Theorem dvdivbd 37795
Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdivbd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvdivbd.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvdivbd.adv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
dvdivbd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
dvdivbd.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
dvdivbd.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
dvdivbd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
dvdivbd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvdivbd.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
dvdivbd.cbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  <_  U )
dvdivbd.bbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
dvdivbd.dbd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  <_  T )
dvdivbd.abd  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  <_  Q )
dvdivbd.bdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
dvdivbd.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  CC )
dvdivbd.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
dvdivbd.ele  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E  <_  ( abs `  B
) )
dvdivbd.f  |-  F  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvdivbd  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
Distinct variable groups:    E, b, x    F, b    Q, b, x    R, b, x    x, S    T, b, x    U, b, x    X, b, x    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( b)    A( x, b)    B( x, b)    C( x, b)    D( x, b)    S( b)    F( x)

Proof of Theorem dvdivbd
StepHypRef Expression
1 dvdivbd.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
2 dvdivbd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31, 2remulcld 9671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  x.  R
)  e.  RR )
4 dvdivbd.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
5 dvdivbd.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
64, 5remulcld 9671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  x.  Q
)  e.  RR )
73, 6readdcld 9670 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  e.  RR )
8 dvdivbd.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
98rpred 11341 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
109resqcld 12442 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
118rpcnd 11343 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
128rpgt0d 11344 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  E )
1312gt0ne0d 10178 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
14 2z 10969 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
1611, 13, 15expne0d 12422 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =/=  0 )
177, 10, 16redivcld 10435 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) )  e.  RR )
18 dvdivbd.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )
19 dvdivbd.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20 dvdivbd.a . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
21 dvdivbd.c . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
22 dvdivbd.adv . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
23 dvdivbd.b . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
24 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
2524abs00bd 13354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  -> 
( abs `  B
)  =  0 )
26 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  RR )
279adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  RR )
2823abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
2912adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <  E )
30 dvdivbd.ele . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E  <_  ( abs `  B
) )
3130r19.21bi 2757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  <_  ( abs `  B
) )
3226, 27, 28, 29, 31ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <  ( abs `  B
) )
3332gt0ne0d 10178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  =/=  0 )
3433adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  -> 
( abs `  B
)  =/=  0 )
3534neneqd 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  B  =  0 )  ->  -.  ( abs `  B
)  =  0 )
3625, 35pm2.65da 580 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  -.  B  =  0 )
3736neqned 2631 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  =/=  0 )
38 eldifsn 4097 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
3923, 37, 38sylanbrc 670 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
40 dvdivbd.d . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  CC )
41 dvdivbd.bdv . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
4219, 20, 21, 22, 39, 40, 41dvmptdiv 37789 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( A  /  B ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
4318, 42syl5eq 2497 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) )  /  ( B ^
2 ) ) ) )
4421, 23mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
4540, 20mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( D  x.  A )  e.  CC )
4644, 45subcld 9986 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) )  e.  CC )
4723sqcld 12414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
48 sqne0 12341 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
4923, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
5037, 49mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( B ^ 2 )  =/=  0 )
5146, 47, 50divcld 10383 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
5243, 51fvmpt2d 5959 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )
5352fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  (
( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A )
)  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
5446, 47, 50absdivd 13517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) )  /  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) ) )
5546abscld 13498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  e.  RR )
567adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U  x.  R
)  +  ( T  x.  Q ) )  e.  RR )
578adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E  e.  RR+ )
5814a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  2  e.  ZZ )
5957, 58rpexpcld 12439 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR+ )
6047abscld 13498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( B ^
2 ) )  e.  RR )
6146absge0d 13506 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) ) )
6244abscld 13498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  RR )
6345abscld 13498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  e.  RR )
6462, 63readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) )  e.  RR )
6544, 45abs2dif2d 13520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) ) )
663adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( U  x.  R )  e.  RR )
676adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( T  x.  Q )  e.  RR )
6821, 23absmuld 13516 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
6921abscld 13498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
701adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  RR )
712adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR )
7221absge0d 13506 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
7323absge0d 13506 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
74 dvdivbd.cbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  C )  <_  U )
75 dvdivbd.bbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
7669, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75lemul12ad 10549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) )  <_ 
( U  x.  R
) )
7768, 76eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  <_ 
( U  x.  R
) )
7840, 20absmuld 13516 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  =  ( ( abs `  D
)  x.  ( abs `  A ) ) )
7940abscld 13498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  e.  RR )
804adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  T  e.  RR )
8120abscld 13498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
825adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  Q  e.  RR )
8340absge0d 13506 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  D
) )
8420absge0d 13506 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
85 dvdivbd.dbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  D )  <_  T )
86 dvdivbd.abd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  A )  <_  Q )
8779, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86lemul12ad 10549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  D
)  x.  ( abs `  A ) )  <_ 
( T  x.  Q
) )
8878, 87eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( D  x.  A ) )  <_ 
( T  x.  Q
) )
8962, 63, 66, 67, 77, 88le2addd 10232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  +  ( abs `  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) ) )
9055, 64, 56, 65, 89letrd 9792 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A
) ) )  <_ 
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) ) )
91 2nn0 10886 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
9291a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  2  e.  NN0 )
9326, 27, 29ltled 9783 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  E )
94 leexp1a 12331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E  e.  RR  /\  ( abs `  B
)  e.  RR  /\  2  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  E  /\  E  <_  ( abs `  B ) ) )  ->  ( E ^
2 )  <_  (
( abs `  B
) ^ 2 ) )
9527, 28, 92, 93, 31, 94syl32anc 1276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  <_ 
( ( abs `  B
) ^ 2 ) )
9623, 92absexpd 13514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( B ^
2 ) )  =  ( ( abs `  B
) ^ 2 ) )
9795, 96breqtrrd 4429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E ^ 2 )  <_ 
( abs `  ( B ^ 2 ) ) )
9855, 56, 59, 60, 61, 90, 97lediv12ad 11397 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( C  x.  B
)  -  ( D  x.  A ) ) )  /  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
9954, 98eqbrtrd 4423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( ( C  x.  B )  -  ( D  x.  A ) )  / 
( B ^ 2 ) ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
10053, 99eqbrtrd 4423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )
101100ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) ) )
102 breq2 4406 . . . 4  |-  ( b  =  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  (
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  /  ( E ^ 2 ) ) ) )
103102ralbidv 2827 . . 3  |-  ( b  =  ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  / 
( E ^ 2 ) )  ->  ( A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b  <->  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  (
( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q ) )  /  ( E ^ 2 ) ) ) )
104103rspcev 3150 . 2  |-  ( ( ( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) )  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( ( U  x.  R )  +  ( T  x.  Q
) )  /  ( E ^ 2 ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
10517, 101, 104syl2anc 667 1  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    \ cdif 3401   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302   ^cexp 12272   abscabs 13297    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-t1 20330  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  38038
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