Theorem dvdivbd 37892

Description: A sufficient condition for the derivative to be bounded, for the quotient of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdivbd.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvdivbd.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvdivbd.adv	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
dvdivbd.c	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
dvdivbd.b	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvdivbd.u	|- ( ph -> U e. RR )
dvdivbd.r	|- ( ph -> R e. RR )
dvdivbd.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvdivbd.q	|- ( ph -> Q e. RR )
dvdivbd.cbd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` C ) <_ U )
dvdivbd.bbd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) <_ R )
dvdivbd.dbd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` D ) <_ T )
dvdivbd.abd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` A ) <_ Q )
dvdivbd.bdv	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> D ) )
dvdivbd.d	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. CC )
dvdivbd.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
dvdivbd.ele	|- ( ph -> A. x e. X E <_ ( abs ` B ) )
dvdivbd.f	|- F = ( S _D ( x e. X |-> ( A / B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdivbd	|- ( ph -> E. b e. RR A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )

Distinct variable groups:   E, b, x   F, b   Q, b, x   R, b, x   x, S   T, b, x   U, b, x   X, b, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( b)   A( x, b)   B( x, b)   C( x, b)   D( x, b)   S( b)   F( x)

Proof of Theorem dvdivbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdivbd.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. RR )
2		dvdivbd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR )
3	1, 2	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ph -> ( U x. R ) e. RR )
4		dvdivbd.t	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
5		dvdivbd.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. RR )
6	4, 5	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ph -> ( T x. Q ) e. RR )
7	3, 6	readdcld 9688	. . 3 |- ( ph -> ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) e. RR )
8		dvdivbd.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
9	8	rpred 11364	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR )
10	9	resqcld 12480	. . 3 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
11	8	rpcnd 11366	. . . 4 |- ( ph -> E e. CC )
12	8	rpgt0d 11367	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < E )
13	12	gt0ne0d 10199	. . . 4 |- ( ph -> E =/= 0 )
14		2z 10993	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
15	14	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
16	11, 13, 15	expne0d 12460	. . 3 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) =/= 0 )
17	7, 10, 16	redivcld 10457	. 2 |- ( ph -> ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) e. RR )
18		dvdivbd.f	. . . . . . 7 |- F = ( S _D ( x e. X |-> ( A / B ) ) )
19		dvdivbd.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
20		dvdivbd.a	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
21		dvdivbd.c	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
22		dvdivbd.adv	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
23		dvdivbd.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. CC )
24		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
25	24	abs00bd 13431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> ( abs ` B ) = 0 )
26		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 e. RR )
27	9	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. RR )
28	23	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) e. RR )
29	12	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 < E )
30		dvdivbd.ele	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. X E <_ ( abs ` B ) )
31	30	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E <_ ( abs ` B ) )
32	26, 27, 28, 29, 31	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 < ( abs ` B ) )
33	32	gt0ne0d 10199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) =/= 0 )
34	33	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> ( abs ` B ) =/= 0 )
35	34	neneqd 2648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ B = 0 ) -> -. ( abs ` B ) = 0 )
36	25, 35	pm2.65da 586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. B = 0 )
37	36	neqned 2650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B =/= 0 )
38		eldifsn 4088	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( B e. CC /\ B =/= 0 ) )
39	23, 37, 38	sylanbrc 677	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. ( CC \ { 0 } ) )
40		dvdivbd.d	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. CC )
41		dvdivbd.bdv	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> B ) ) = ( x e. X |-> D ) )
42	19, 20, 21, 22, 39, 40, 41	dvmptdiv 37886	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( A / B ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) )
43	18, 42	syl5eq 2517	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( x e. X |-> ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) )
44	21, 23	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( C x. B ) e. CC )
45	40, 20	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D x. A ) e. CC )
46	44, 45	subcld 10005	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) e. CC )
47	23	sqcld 12452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
48		sqne0 12379	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( ( B ^ 2 ) =/= 0 <-> B =/= 0 ) )
49	23, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( B ^ 2 ) =/= 0 <-> B =/= 0 ) )
50	37, 49	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( B ^ 2 ) =/= 0 )
51	46, 47, 50	divcld 10405	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) e. CC )
52	43, 51	fvmpt2d 5974	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) = ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) )
53	52	fveq2d 5883	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) )
54	46, 47, 50	absdivd 13594	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) = ( ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) / ( abs ` ( B ^ 2 ) ) ) )
55	46	abscld 13575	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) e. RR )
56	7	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) e. RR )
57	8	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. RR+ )
58	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 2 e. ZZ )
59	57, 58	rpexpcld 12477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
60	47	abscld 13575	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) e. RR )
61	46	absge0d 13583	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) )
62	44	abscld 13575	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) e. RR )
63	45	abscld 13575	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( D x. A ) ) e. RR )
64	62, 63	readdcld 9688	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` ( C x. B ) ) + ( abs ` ( D x. A ) ) ) e. RR )
65	44, 45	abs2dif2d 13597	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) <_ ( ( abs ` ( C x. B ) ) + ( abs ` ( D x. A ) ) ) )
66	3	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( U x. R ) e. RR )
67	6	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( T x. Q ) e. RR )
68	21, 23	absmuld 13593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) = ( ( abs ` C ) x. ( abs ` B ) ) )
69	21	abscld 13575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` C ) e. RR )
70	1	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> U e. RR )
71	2	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> R e. RR )
72	21	absge0d 13583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` C ) )
73	23	absge0d 13583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
74		dvdivbd.cbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` C ) <_ U )
75		dvdivbd.bbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` B ) <_ R )
76	69, 70, 28, 71, 72, 73, 74, 75	lemul12ad 10571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` C ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( U x. R ) )
77	68, 76	eqbrtrd 4416	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( C x. B ) ) <_ ( U x. R ) )
78	40, 20	absmuld 13593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( D x. A ) ) = ( ( abs ` D ) x. ( abs ` A ) ) )
79	40	abscld 13575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` D ) e. RR )
80	4	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> T e. RR )
81	20	abscld 13575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` A ) e. RR )
82	5	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> Q e. RR )
83	40	absge0d 13583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` D ) )
84	20	absge0d 13583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
85		dvdivbd.dbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` D ) <_ T )
86		dvdivbd.abd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` A ) <_ Q )
87	79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86	lemul12ad 10571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` D ) x. ( abs ` A ) ) <_ ( T x. Q ) )
88	78, 87	eqbrtrd 4416	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( D x. A ) ) <_ ( T x. Q ) )
89	62, 63, 66, 67, 77, 88	le2addd 10253	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` ( C x. B ) ) + ( abs ` ( D x. A ) ) ) <_ ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) )
90	55, 64, 56, 65, 89	letrd 9809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) <_ ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) )
91		2nn0 10910	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
92	91	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 2 e. NN0 )
93	26, 27, 29	ltled 9800	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 <_ E )
94		leexp1a 12369	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E e. RR /\ ( abs ` B ) e. RR /\ 2 e. NN0 ) /\ ( 0 <_ E /\ E <_ ( abs ` B ) ) ) -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
95	27, 28, 92, 93, 31, 94	syl32anc 1300	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
96	23, 92	absexpd 13591	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
97	95, 96	breqtrrd 4422	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( E ^ 2 ) <_ ( abs ` ( B ^ 2 ) ) )
98	55, 56, 59, 60, 61, 90, 97	lediv12ad 11420	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( abs ` ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) ) / ( abs ` ( B ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
99	54, 98	eqbrtrd 4416	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( ( ( C x. B ) - ( D x. A ) ) / ( B ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
100	53, 99	eqbrtrd 4416	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
101	100	ralrimiva 2809	. 2 |- ( ph -> A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) )
102		breq2 4399	. . . 4 |- ( b = ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) ) )
103	102	ralbidv 2829	. . 3 |- ( b = ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) -> ( A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) ) )
104	103	rspcev 3136	. 2 |- ( ( ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) e. RR /\ A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( ( U x. R ) + ( T x. Q ) ) / ( E ^ 2 ) ) ) -> E. b e. RR A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
105	17, 101, 104	syl2anc 673	1 |- ( ph -> E. b e. RR A. x e. X ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   \ cdif 3387   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   ^cexp 12310   abscabs 13374   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  38150