Theorem o1cxp 24501

Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1cxp.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
o1cxp.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
o1cxp.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1cxp.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1cxp	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1cxp

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1cxp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
2		o1f 14108	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4		o1cxp.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 5549	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8	7	feq2d 5944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
9	3, 8	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
10		o1bdd 14110	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
11	1, 9, 10	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
12		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
14	13	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
15	12, 4, 14	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
16	15	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (𝐵↑𝑐𝐶))
17		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ V
18		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))
19	18	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵↑𝑐𝐶))
20	12, 17, 19	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵↑𝑐𝐶))
21	16, 20	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥))
22	21	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥))
23		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥)
24		nffvmpt1 6111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)
25		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥↑𝑐
26		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
27	24, 25, 26	nfov 6575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)
28		nffvmpt1 6111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)
29	27, 28	nfeq 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)
30		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧))
31	30	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶))
32		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
33	31, 32	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)))
34	23, 29, 33	cbvral 3143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
35	22, 34	sylib 207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
36	35	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
37	36	ad2ant2r 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧))
38	37	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) = (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)))
39	9	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
40	39	ad2ant2r 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
41		o1cxp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
42	41	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43		o1cxp.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
44	43	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
45		simprr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
46		0re 9919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
47		ifcl 4080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
48	45, 46, 47	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
50	40	abscld 14023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ∈ ℝ)
51	45	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52		simprr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)
53		max2 11892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
54	46, 45, 53	sylancr 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
56	50, 51, 49, 52, 55	letrd 10073	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
57	40, 42, 44, 49, 56	abscxpbnd 24294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
58	38, 57	eqbrtrrd 4607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
59	58	expr 641	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))))
60	59	imim2d 55	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
61	60	ralimdva 2945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
62	4, 1	o1mptrcl 14201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
64	62, 63	cxpcld 24254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵↑𝑐𝐶) ∈ ℂ)
65	64, 18	fmptd 6292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
66	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
67		o1dm 14109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
68	1, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
69	7, 68	eqsstr3d 3603	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
70	69	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
71		simprl 790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
72		max1 11890	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
73	46, 45, 72	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
74	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
75	74	recld 13782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
76	48, 73, 75	recxpcld 24269	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) ∈ ℝ)
77	74	abscld 14023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
78		pire 24014	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
79		remulcl 9900	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
80	77, 78, 79	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
81	80	reefcld 14657	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (exp‘((abs‘𝐶) · π)) ∈ ℝ)
82	76, 81	remulcld 9949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)
83		elo12r 14107	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
84	83	3expia 1259	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
85	66, 70, 71, 82, 84	syl22anc 1319	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
86	61, 85	syld 46	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
87	86	rexlimdvva 3020	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
88	11, 87	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵↑𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   ≤ cle 9954  ℜcre 13685  abscabs 13822  𝑂(1)co1 14065  expce 14631  πcpi 14636  ↑_𝑐ccxp 24106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-o1 14069  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108

This theorem is referenced by: (None)