Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mptrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1mptrcl 14201
 Description: Reverse closure for an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1mptrcl.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1mptrcl ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1mptrcl
StepHypRef Expression
1 o1mptrcl.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
2 o1f 14108 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 o1add2.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5549 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 5944 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 221 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1110fmpt 6289 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
129, 11sylibr 223 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
1312r19.21bi 2916 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ℂcc 9813  𝑂(1)co1 14065 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-pm 7747  df-o1 14069 This theorem is referenced by:  o1le  14231  fsumo1  14385  o1fsum  14386  o1cxp  24501  mulogsum  25021
 Copyright terms: Public domain W3C validator