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Theorem o1cxp 20766
Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1cxp.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
o1cxp.2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
o1cxp.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1cxp.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1cxp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem o1cxp
Dummy variables  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1cxp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
2 o1f 12278 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : dom  (
x  e.  A  |->  B ) --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
4 o1cxp.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5326 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
87feq2d 5540 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
93, 8mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
10 o1bdd 12280 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m ) )
111, 9, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  (
y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )
)
12 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
13 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1413fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1512, 4, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
1615oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( B  ^ c  C
) )
17 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  ^ c  C )  e.  _V
18 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )
1918fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( B  ^ c  C )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( B  ^ c  C ) )
2012, 17, 19sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( B  ^ c  C
) )
2116, 20eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x ) )
2221ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x ) )
23 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )
24 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
25 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  ^ c
26 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
2724, 25, 26nfov 6063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )
28 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z )
2927, 28nfeq 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z )
30 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )
3130oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )
32 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3331, 32eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  ^ c  C
)  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) ) `  z
) ) )
3423, 29, 33cbvral 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  x )  <->  A. z  e.  A  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  ^ c  C
)  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) ) `  z
) )
3522, 34sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3635r19.21bi 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3736ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )
3837fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )  =  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) ) )
399ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  CC )
4039ad2ant2r 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  CC )
41 o1cxp.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4241ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  C  e.  CC )
43 o1cxp.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  C ) )
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  0  <_  (
Re `  C )
)
45 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
46 0re 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
47 ifcl 3735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  m ,  m , 
0 )  e.  RR )
4845, 46, 47sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  e.  RR )
4948adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  e.  RR )
5040abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  e.  RR )
5145adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  m  e.  RR )
52 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m
)
53 max2 10731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5446, 45, 53sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  m  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5554adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  m  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5650, 51, 49, 52, 55letrd 9183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  if ( 0  <_  m ,  m ,  0 ) )
5740, 42, 44, 49, 56abscxpbnd 20590 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  ^ c  C ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )
5838, 57eqbrtrrd 4194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( z  e.  A  /\  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )  <_  m ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )
5958expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) )
6059imim2d 50 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
) )  <_  m
)  ->  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) ) )
6160ralimdva 2744 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) ) )
624, 1o1mptrcl 12371 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6341adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
6462, 63cxpcld 20552 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  ^ c  C )  e.  CC )
6564, 18fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC )
6665adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC )
67 o1dm 12279 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
681, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
697, 68eqsstr3d 3343 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
7069adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
71 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
72 max1 10729 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
7346, 45, 72sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
0  <_  if (
0  <_  m ,  m ,  0 ) )
7441adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  ->  C  e.  CC )
7574recld 11954 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( Re `  C
)  e.  RR )
7648, 73, 75recxpcld 20567 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re `  C ) )  e.  RR )
7774abscld 12193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( abs `  C
)  e.  RR )
78 pire 20325 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
79 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  C
)  x.  pi )  e.  RR )
8077, 78, 79sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( ( abs `  C
)  x.  pi )  e.  RR )
8180reefcld 12645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) )  e.  RR )
8276, 81remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )
83 elo12r 12277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
84833expia 1155 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  A  ( y  <_  z  ->  ( abs `  (
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8566, 70, 71, 82, 84syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) ) `  z ) )  <_ 
( ( if ( 0  <_  m ,  m ,  0 )  ^ c  ( Re
`  C ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  C
)  x.  pi ) ) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8661, 85syld 42 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  -> 
( A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) )  e.  O
( 1 ) ) )
8786rexlimdvva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. m  e.  RR  A. z  e.  A  ( y  <_ 
z  ->  ( abs `  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )  <_  m )  ->  (
x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C
) )  e.  O
( 1 ) ) )
8811, 87mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  ^ c  C ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    x. cmul 8951    <_ cle 9077   Recre 11857   abscabs 11994   O (
1 )co1 12235   expce 12619   picpi 12624    ^ c ccxp 20406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408
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