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Theorem abscxpbnd 22883
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abscxpbnd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
abscxpbnd.3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  B ) )
abscxpbnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abscxpbnd.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 10177 . . . . 5  |-  1  <_  1
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  1  <_  1
)
3 oveq12 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^c  B )  =  ( 0  ^c  0 ) )
43adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^c  B )  =  ( 0  ^c  0 ) )
5 0cn 9588 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
6 cxp0 22807 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
0  ^c  0 )  =  1 )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  ^c  0 )  =  1
84, 7syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^c  B )  =  1 )
98fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  ( abs `  1 ) )
10 abs1 13093 . . . . 5  |-  ( abs `  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  1 )
12 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  0  ->  (
Re `  B )  =  ( Re ` 
0 ) )
13 re0 12948 . . . . . . . . 9  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1412, 13syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  0  ->  (
Re `  B )  =  0 )
1514oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0  ->  ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  =  ( M  ^c  0 ) )
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1716recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1817cxp0d 22842 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  ^c 
0 )  =  1 )
1918adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( M  ^c  0 )  =  1 )
2015, 19sylan9eqr 2530 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( M  ^c  ( Re `  B ) )  =  1 )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
2221abs00bd 13087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  B
)  =  0 )
2322oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  pi )  =  ( 0  x.  pi ) )
24 picn 22614 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
2524mul02i 9768 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  x.  pi )  =  0
2623, 25syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  pi )  =  0 )
2726fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  =  ( exp `  0 ) )
28 ef0 13688 . . . . . . 7  |-  ( exp `  0 )  =  1
2927, 28syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  =  1 )
3020, 29oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
31 1t1e1 10683 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3230, 31syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  =  1 )
332, 11, 323brtr4d 4477 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
34 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  =  0 )
3534oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( A  ^c  B )  =  ( 0  ^c  B ) )
36 abscxpbnd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
38 0cxp 22803 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  ^c  B )  =  0 )
3937, 38sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  ^c  B )  =  0 )
4035, 39eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( A  ^c  B )  =  0 )
4140abs00bd 13087 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  0 )
42 0red 9597 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
43 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4443abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
4543absge0d 13238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
46 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
4742, 44, 16, 45, 46letrd 9738 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
4836recld 12990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
4916, 47, 48recxpcld 22860 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  ^c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5049ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( M  ^c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5136abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
5251ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  B
)  e.  RR )
53 pire 22613 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
54 remulcl 9577 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
5552, 53, 54sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
5655reefcld 13685 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
5716, 47, 48cxpge0d 22861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  ^c  ( Re `  B ) ) )
5857ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( M  ^c  ( Re `  B ) ) )
5955rpefcld 13701 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR+ )
6059rpge0d 11260 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) )
6150, 56, 58, 60mulge0d 10129 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6241, 61eqbrtrd 4467 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6333, 62pm2.61dane 2785 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_ 
( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6443adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
65 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
6636adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
6764, 65, 66cxpefd 22849 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( A  ^c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
6867fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
69 logcl 22712 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
7043, 69sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7166, 70mulcld 9616 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
72 absef 13793 . . . . 5  |-  ( ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
7371, 72syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
7466recld 12990 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
7570recld 12990 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( log `  A ) )  e.  RR )
7674, 75remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
7776recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
7866imcld 12991 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
7970imcld 12991 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8079renegcld 9986 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8178, 80remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
8281recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
83 efadd 13691 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8477, 82, 83syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8578, 79remulcld 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
8685recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
8777, 86negsubd 9936 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  -  ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
8878recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
8979recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
9088, 89mulneg2d 10010 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9190oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9266, 70remuld 13014 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  -  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9387, 91, 923eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) )
9493fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re
`  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
95 relog 22737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
9643, 95sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
9796oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) )
9897fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A ) ) ) ) )
9944recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
10099adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
10143abs00ad 13086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
102101necon3bid 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
103102biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
10474recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
105100, 103, 104cxpefd 22849 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) ) )
10698, 105eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) ) )
107106oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
10884, 94, 1073eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
10968, 73, 1083eqtrd 2512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  ( ( ( abs `  A )  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
11064abscld 13230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
11164absge0d 13238 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
112110, 111, 74recxpcld 22860 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  e.  RR )
11381reefcld 13685 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
114112, 113remulcld 9624 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
11549adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  e.  RR )
116115, 113remulcld 9624 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
11751, 53, 54sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
118117reefcld 13685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
119118adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )  e.  RR )
120115, 119remulcld 9624 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) )  e.  RR )
12181rpefcld 13701 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR+ )
122121rpge0d 11260 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
12316adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  M  e.  RR )
124 abscxpbnd.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  B ) )
125124adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( Re `  B
) )
12646adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  <_  M )
127110, 111, 123, 74, 125, 126cxple2ad 22862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  <_  ( M  ^c  ( Re `  B ) ) )
128112, 115, 113, 122, 127lemul1ad 10485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
12957adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( M  ^c 
( Re `  B
) ) )
13088abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
13180recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
132131abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
133130, 132remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
134117adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
13581leabsd 13209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( abs `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
13688, 131absmuld 13248 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
137135, 136breqtrd 4471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( Im `  B
) )  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
13866abscld 13230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
139138, 132remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
140131absge0d 13238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
141 absimle 13105 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
14266, 141syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
143130, 138, 132, 140, 142lemul1ad 10485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
14453a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  pi  e.  RR )
14566absge0d 13238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
14689absnegd 13243 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
147 logimcl 22713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
14843, 147sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
149148simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
15053renegcli 9880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
151 ltle 9673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
152150, 79, 151sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
153149, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
154148simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
155 absle 13111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
15679, 53, 155sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
157153, 154, 156mpbir2and 920 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
158146, 157eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
159132, 144, 138, 145, 158lemul2ad 10486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
160133, 139, 134, 143, 159letrd 9738 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
16181, 133, 134, 137, 160letrd 9738 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )
162 efle 13714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi )  <->  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
16381, 134, 162syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) 
<->  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
164161, 163mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) )
165113, 119, 115, 129, 164lemul2ad 10486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_ 
( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
166114, 116, 120, 128, 165letrd 9738 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) ) )
167109, 166eqbrtrd 4467 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_ 
( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
16863, 167pm2.61dane 2785 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806   Recre 12893   Imcim 12894   abscabs 13030   expce 13659   picpi 13664   logclog 22698    ^c ccxp 22699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-cxp 22701
This theorem is referenced by:  o1cxp  23060
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