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Theorem abscxpbnd 22076
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abscxpbnd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
abscxpbnd.3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  B ) )
abscxpbnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abscxpbnd.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 9952 . . . . 5  |-  1  <_  1
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  1  <_  1
)
3 oveq12 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^c  B )  =  ( 0  ^c  0 ) )
43adantll 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^c  B )  =  ( 0  ^c  0 ) )
5 0cn 9366 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
6 cxp0 22000 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
0  ^c  0 )  =  1 )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  ^c  0 )  =  1
84, 7syl6eq 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  ^c  B )  =  1 )
98fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  ( abs `  1 ) )
10 abs1 12770 . . . . 5  |-  ( abs `  1 )  =  1
119, 10syl6eq 2481 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  1 )
12 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  0  ->  (
Re `  B )  =  ( Re ` 
0 ) )
13 re0 12625 . . . . . . . . 9  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1412, 13syl6eq 2481 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  0  ->  (
Re `  B )  =  0 )
1514oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0  ->  ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  =  ( M  ^c  0 ) )
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1716recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1817cxp0d 22035 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  ^c 
0 )  =  1 )
1918adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( M  ^c  0 )  =  1 )
2015, 19sylan9eqr 2487 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( M  ^c  ( Re `  B ) )  =  1 )
21 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
2221abs00bd 12764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  B
)  =  0 )
2322oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  pi )  =  ( 0  x.  pi ) )
24 picn 21807 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
2524mul02i 9546 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  x.  pi )  =  0
2623, 25syl6eq 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  pi )  =  0 )
2726fveq2d 5683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  =  ( exp `  0 ) )
28 ef0 13359 . . . . . . 7  |-  ( exp `  0 )  =  1
2927, 28syl6eq 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  =  1 )
3020, 29oveq12d 6098 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
31 1t1e1 10457 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3230, 31syl6eq 2481 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  =  1 )
332, 11, 323brtr4d 4310 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
34 simplr 747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  =  0 )
3534oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( A  ^c  B )  =  ( 0  ^c  B ) )
36 abscxpbnd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3736adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
38 0cxp 21996 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  ^c  B )  =  0 )
3937, 38sylan 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 0  ^c  B )  =  0 )
4035, 39eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( A  ^c  B )  =  0 )
4140abs00bd 12764 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  0 )
42 0red 9375 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
43 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4443abscld 12906 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
4543absge0d 12914 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
46 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
4742, 44, 16, 45, 46letrd 9516 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
4836recld 12667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
4916, 47, 48recxpcld 22053 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  ^c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5049ad2antrr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( M  ^c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5136abscld 12906 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
5251ad2antrr 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  B
)  e.  RR )
53 pire 21806 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
54 remulcl 9355 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
5552, 53, 54sylancl 655 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
5655reefcld 13356 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
5716, 47, 48cxpge0d 22054 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  ^c  ( Re `  B ) ) )
5857ad2antrr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( M  ^c  ( Re `  B ) ) )
5955rpefcld 13372 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR+ )
6059rpge0d 11019 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) )
6150, 56, 58, 60mulge0d 9904 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6241, 61eqbrtrd 4300 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  B  =/=  0 )  -> 
( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6333, 62pm2.61dane 2679 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_ 
( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
6443adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
65 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  A  =/=  0 )
6636adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
6764, 65, 66cxpefd 22042 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( A  ^c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
6867fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
69 logcl 21905 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
7043, 69sylan 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7166, 70mulcld 9394 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
72 absef 13464 . . . . 5  |-  ( ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
7371, 72syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
7466recld 12667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
7570recld 12667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( log `  A ) )  e.  RR )
7674, 75remulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
7776recnd 9400 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
7866imcld 12668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
7970imcld 12668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8079renegcld 9763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
8178, 80remulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
8281recnd 9400 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
83 efadd 13362 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8477, 82, 83syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
8578, 79remulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  RR )
8685recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  e.  CC )
8777, 86negsubd 9713 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  -  ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
8878recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
8979recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
9088, 89mulneg2d 9786 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
9190oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9266, 70remuld 12691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) )  =  ( ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  -  ( ( Im `  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
9387, 91, 923eqtr4d 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) )
9493fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re
`  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
95 relog 21930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
9643, 95sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
9796oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) )
9897fveq2d 5683 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A ) ) ) ) )
9944recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
10099adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
10143abs00ad 12763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =  0  <->  A  =  0 ) )
102101necon3bid 2633 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
103102biimpar 482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
10474recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
105100, 103, 104cxpefd 22042 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) ) )
10698, 105eqtr4d 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) ) )
107106oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
10884, 94, 1073eqtr3d 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
10968, 73, 1083eqtrd 2469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  ( ( ( abs `  A )  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
11064abscld 12906 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
11164absge0d 12914 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
112110, 111, 74recxpcld 22053 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  e.  RR )
11381reefcld 13356 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
114112, 113remulcld 9402 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
11549adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  e.  RR )
116115, 113remulcld 9402 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
11751, 53, 54sylancl 655 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
118117reefcld 13356 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
119118adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )  e.  RR )
120115, 119remulcld 9402 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) )  e.  RR )
12181rpefcld 13372 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR+ )
122121rpge0d 11019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
12316adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  M  e.  RR )
124 abscxpbnd.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Re `  B ) )
125124adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( Re `  B
) )
12646adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  <_  M )
127110, 111, 123, 74, 125, 126cxple2ad 22055 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  <_  ( M  ^c  ( Re `  B ) ) )
128112, 115, 113, 122, 127lemul1ad 10260 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
12957adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( M  ^c 
( Re `  B
) ) )
13088abscld 12906 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  e.  RR )
13180recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u (
Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
132131abscld 12906 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
133130, 132remulcld 9402 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
134117adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
13581leabsd 12885 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( abs `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
13688, 131absmuld 12924 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
137135, 136breqtrd 4304 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( Im `  B
) )  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
13866abscld 12906 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
139138, 132remulcld 9402 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
140131absge0d 12914 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
141 absimle 12782 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
14266, 141syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
143130, 138, 132, 140, 142lemul1ad 10260 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
14453a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  pi  e.  RR )
14566absge0d 12914 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
14689absnegd 12919 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
147 logimcl 21906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
14843, 147sylan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
149148simpld 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
15053renegcli 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
151 ltle 9451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
152150, 79, 151sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
153149, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
154148simprd 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
155 absle 12787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
15679, 53, 155sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
157153, 154, 156mpbir2and 906 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
158146, 157eqbrtrd 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
159132, 144, 138, 145, 158lemul2ad 10261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
160133, 139, 134, 143, 159letrd 9516 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
16181, 133, 134, 137, 160letrd 9516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )
162 efle 13385 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi )  <->  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
16381, 134, 162syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) 
<->  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
164161, 163mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) )
165113, 119, 115, 129, 164lemul2ad 10261 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_ 
( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
166114, 116, 120, 128, 165letrd 9516 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) ) )
167109, 166eqbrtrd 4300 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_ 
( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
16863, 167pm2.61dane 2679 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583   -ucneg 9584   Recre 12570   Imcim 12571   abscabs 12707   expce 13330   picpi 13335   logclog 21891    ^c ccxp 21892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-cxp 21894
This theorem is referenced by:  o1cxp  22253
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