Theorem logcn 24193

Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logcn	⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

Proof of Theorem logcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 24115	. . . . . . 7 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2		f1of 6050	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 24188	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		fssres 5983	. . . . . 6 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7	3, 5, 6	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
8		ffn 5958	. . . . 5 ⊢ ((log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log → (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷
10		dffn5 6151	. . . 4 ⊢ ((log ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
11	9, 10	mpbi 219	. . 3 ⊢ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥))
12		fvres 6117	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
13	4	ellogdm 24185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
14	13	simplbi 475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
15	4	logdmn0 24186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
16	14, 15	logcld 24121	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
17	16	replimd 13785	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) = ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
18		relog 24147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
19	14, 15, 18	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
20	14, 15	absrpcld 14035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑥) ∈ ℝ+)
21		fvres 6117	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
23	19, 22	eqtr4d 2647	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)))
24	23	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
25	12, 17, 24	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
26	25	mpteq2ia 4668	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
27	11, 26	eqtri 2632	. 2 ⊢ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
28		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
29	28	addcn 22476	. . . . 5 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
31	28	cnfldtopon 22396	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32	14	ssriv 3572	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
33		resttopon 20775	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
34	31, 32, 33	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
36		absf 13925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
37		fssres 5983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
38	36, 32, 37	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
40	39	feqmptd 6159	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)))
41		fvres 6117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
42	41	mpteq2ia 4668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥))
43	40, 42	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)))
44		ffn 5958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ → (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
45	38, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷
46	41, 20	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+)
47	46	rgen 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+
48		ffnfv 6295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+ ↔ ((abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+))
49	45, 47, 48	mpbir2an 957	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+
50		rpssre 11719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
51		ax-resscn 9872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
52	50, 51	sstri 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
53		abscncf 22512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
54		rescncf 22508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) → (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)))
55	32, 53, 54	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
56		cncffvrn 22509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)) → ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+))
57	52, 55, 56	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+)
58	49, 57	mpbir 220	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+)
59	43, 58	syl6eqelr 2697	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (𝐷–cn→ℝ+))
60		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)
61		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)
62	28, 60, 61	cncfcn 22520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)))
63	32, 52, 62	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+))
64	59, 63	syl6eleq 2698	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)))
65		ssid 3587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
66		cncfss 22510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+–cn→ℝ) ⊆ (ℝ+–cn→ℂ))
67	51, 65, 66	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+–cn→ℝ) ⊆ (ℝ+–cn→ℂ)
68		relogcn 24184	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
69	67, 68	sselii 3565	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ)
70	69	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ))
71	28	cnfldtop 22397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
72	31	toponunii 20547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
73	72	restid 15917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
74	71, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
75	74	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
76	28, 61, 75	cncfcn 22520	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
77	52, 65, 76	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld))
78	70, 77	syl6eleq 2698	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
79	35, 64, 78	cnmpt11f 21277	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
80	28, 60, 75	cncfcn 22520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
81	32, 65, 80	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld))
82	79, 81	syl6eleqr 2699	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
83	16	imcld 13783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
84	83	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
85	84	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
86		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))))
87		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)))
88		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘(log‘𝑥)) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))
89	85, 86, 87, 88	fmptco 6303	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
90		cncfss 22510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℝ) ⊆ (𝐷–cn→ℂ))
91	51, 65, 90	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷–cn→ℝ) ⊆ (𝐷–cn→ℂ)
92	4	logcnlem5 24192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
93	91, 92	sselii 3565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
94	93	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
95		ax-icn 9874	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
96		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦))
97	96	mulc1cncf 22516	. . . . . . 7 ⊢ (i ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
98	95, 97	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
99	94, 98	cncfco 22518	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
100	89, 99	eqeltrrd 2689	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
101	28, 30, 82, 100	cncfmpt2f 22525	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
102	101	trud 1484	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
103	27, 102	eqeltri 2684	1 ⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  -∞cmnf 9951  ℝ⁺crp 11708  (,]cioc 12047  ℜcre 13685  ℑcim 13686  abscabs 13822   ↾_t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂ_fldccnfld 19567  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838   ×_t ctx 21173  –cn→ccncf 22487  logclog 24105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107

This theorem is referenced by:  dvlog  24197  efopnlem2  24203  dvcncxp1  24284  cxpcn  24286  lgamgulmlem2  24556  lgamcvg2  24581  areacirclem4  32673