Theorem mulc1cncf 22516

Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulc1cncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncf

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 9899	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
2		mulc1cncf.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑥))
3	1, 2	fmptd 6292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4		simprr 792	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
5		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 790	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7		mulcn2 14174	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
9		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
10	9	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (abs‘(𝑣 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝐴)))
11	10	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡))
12	11	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤)))
13		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (𝑣 · 𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
14	13	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)))
15	14	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
16	15	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
17	12, 16	imbi12d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → ((((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
18	17	ralbidv 2969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝐴 → (∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
19	18	rspcv 3278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
20	19	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
21		subid 10179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
22	21	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
23	22	abs00bd 13879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) = 0)
24		simprll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑡 ∈ ℝ+)
25	24	rpgt0d 11751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 0 < 𝑡)
26	23, 25	eqbrtrd 4605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡)
27	26	biantrurd 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤)))
28		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
29		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑢))
30		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 · 𝑢) ∈ V
31	29, 2, 30	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝐹‘𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
32	28, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑢) = (𝐴 · 𝑢))
33		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
34		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
35		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
36	34, 2, 35	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝐹‘𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
37	33, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴 · 𝑦))
38	32, 37	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦)) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦)))
39	38	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) = (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))))
40	39	breq1d 4593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧))
41	27, 40	imbi12d 333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑢 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
42	41	anassrs 678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
43	42	ralbidva 2968	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝐴 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧)))
44	20, 43	sylibrd 248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
45	44	anassrs 678	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
46	45	reximdva 3000	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
47	46	rexlimdva 3013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ ℂ ∀𝑢 ∈ ℂ (((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑡 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤) → (abs‘((𝑣 · 𝑢) − (𝐴 · 𝑦))) < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
48	8, 47	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))
49	48	ralrimivva 2954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))
50		ssid 3587	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
51		elcncf2 22501	. . 3 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧))))
52	50, 50, 51	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ((abs‘(𝑢 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘𝑢) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑧)))
53	3, 49, 52	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  ℝ⁺crp 11708  abscabs 13822  –cn→ccncf 22487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-cncf 22489

This theorem is referenced by:  divccncf  22517  sincn  24002  coscn  24003  logcn  24193  mulc1cncfg  38656  dirkeritg  38995  dirkercncflem2  38997