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Theorem cncfco 22518
Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfco.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfco.5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶))
Assertion
Ref Expression
cncfco (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶))

Proof of Theorem cncfco
Dummy variables 𝑤 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfco.5 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶))
2 cncff 22504 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶) → 𝐺:𝐵𝐶)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵𝐶)
4 cncfco.4 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
5 cncff 22504 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
7 fco 5971 . . 3 ((𝐺:𝐵𝐶𝐹:𝐴𝐵) → (𝐺𝐹):𝐴𝐶)
83, 6, 7syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹):𝐴𝐶)
91adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶))
106adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝐴𝐵)
11 simprl 790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥𝐴)
1210, 11ffvelrnd 6268 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
13 simprr 792 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
14 cncfi 22505 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦))
159, 12, 13, 14syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦))
164ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
17 simplrl 796 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝑥𝐴)
18 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℝ+)
19 cncfi 22505 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝑥𝐴𝑢 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢))
216ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → 𝐹:𝐴𝐵)
22 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → 𝑤𝐴)
2321, 22ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
24 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (𝑣 − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥)))
2524fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))))
2625breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝐹𝑤) → ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 ↔ (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢))
27 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (𝐺𝑣) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
2827oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐹𝑤) → ((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥))) = ((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥))))
2928fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) = (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))))
3029breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝐹𝑤) → ((abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦))
3126, 30imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) ↔ ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
3231rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
3323, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
34 fvco3 6185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐴𝐵𝑤𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3521, 22, 34syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((𝐺𝐹)‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3617adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → 𝑥𝐴)
37 fvco3 6185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3821, 36, 37syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3935, 38oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥)) = ((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥))))
4039fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) = (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))))
4140breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦))
4241imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹𝑤)) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)))
4333, 42sylibrd 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4443imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
4544an32s 842 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → ((abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
4645imim2d 55 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴)) → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4746anassrs 678 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐴) → (((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4847ralimdva 2945 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
4948reximdva 3000 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
5049ex 449 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑢) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
5120, 50mpid 43 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
5251rexlimdva 3013 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺𝑣) − (𝐺‘(𝐹𝑥)))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
5315, 52mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
5453ralrimivva 2954 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
55 cncfrss 22502 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
564, 55syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
57 cncfrss2 22503 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐵cn𝐶) → 𝐶 ⊆ ℂ)
581, 57syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
59 elcncf2 22501 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → ((𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ ((𝐺𝐹):𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
6056, 58, 59syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ ((𝐺𝐹):𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑤) − ((𝐺𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
618, 54, 60mpbir2and 959 1 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ (𝐴cn𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  wss 3540   class class class wbr 4583  ccom 5042  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813   < clt 9953  cmin 10145  +crp 11708  abscabs 13822  cnccncf 22487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-abs 13824  df-cncf 22489
This theorem is referenced by:  cncfmpt1f  22524  negfcncf  22530  cniccbdd  23037  cncombf  23231  cnmbf  23232  dvlip  23560  dvlipcn  23561  itgsubstlem  23615  sincn  24002  coscn  24003  logcn  24193  lgamgulmlem2  24556  ftalem3  24601  evthiccabs  38565  mulc1cncfg  38656  expcnfg  38658  cncfcompt  38768  divcncf  38769  cncficcgt0  38774  cncfcompt2  38785  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  fourierdlem18  39018  fourierdlem93  39092  fourierdlem101  39100  fourierdlem111  39110
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