MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absf 13925
Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absf abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abs 13824 . 2 abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2 absval 13826 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3 abscl 13866 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
42, 3eqeltrrd 2689 . 2 (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
51, 4fmpti 6291 1 abs:ℂ⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1977  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814   · cmul 9820  ccj 13684  csqrt 13821  abscabs 13822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824
This theorem is referenced by:  lo1o1  14111  lo1o12  14112  abscn2  14177  climabs  14182  rlimabs  14187  cnfldds  19577  absabv  19622  cnmet  22385  cnbl0  22387  cnblcld  22388  cnfldms  22389  cnfldnm  22392  abscncf  22512  cnfldcusp  22961  ovolfsf  23047  ovolctb  23065  iblabslem  23400  iblabs  23401  bddmulibl  23411  dvlip2  23562  c1liplem1  23563  pserulm  23980  psercn2  23981  psercnlem2  23982  psercnlem1  23983  psercn  23984  pserdvlem1  23985  pserdvlem2  23986  pserdv  23987  pserdv2  23988  abelth  23999  efif1olem3  24094  efif1olem4  24095  efifo  24097  eff1olem  24098  logcn  24193  efopnlem1  24202  logtayl  24206  cnnv  26916  cnnvg  26917  cnnvs  26919  cnnvnm  26920  cncph  27058  mblfinlem2  32617  ftc1anclem1  32655  ftc1anclem2  32656  ftc1anclem3  32657  ftc1anclem4  32658  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662  ftc1anc  32663  extoimad  37486  imo72b2lem0  37487  imo72b2lem2  37489  imo72b2lem1  37493  imo72b2  37497  sblpnf  37531  binomcxplemdvbinom  37574  binomcxplemcvg  37575  binomcxplemdvsum  37576  binomcxplemnotnn0  37577  absfun  38507  cncficcgt0  38774  fourierdlem42  39042  hoicvr  39438  ovolval2lem  39533  ovolval3  39537
  Copyright terms: Public domain W3C validator