Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemcvg 37575
 Description: Lemma for binomcxp 37578. The sum in binomcxplemnn0 37570 and its derivative (see the next theorem, binomcxplemdvsum 37576) converge, as long as their base 𝐽 is within the disk of convergence. Part of remark "This convergence allows us to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemcvg ((𝜑𝐽𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝐽)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝐽)) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝜑   𝐹,𝑏,𝑘   𝐽,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝐽   𝜑,𝑗   𝑆,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemcvg
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . 3 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
2 binomcxp.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
4 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
53, 4bcccl 37560 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
6 binomcxplem.f . . . . 5 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
75, 6fmptd 6292 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℂ)
87adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐽𝐷) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
9 binomcxplem.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
10 binomcxplem.d . . . . . . 7 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
1110eleq2i 2680 . . . . . 6 (𝐽𝐷𝐽 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)))
12 absf 13925 . . . . . . 7 abs:ℂ⟶ℝ
13 ffn 5958 . . . . . . 7 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
14 elpreima 6245 . . . . . . 7 (abs Fn ℂ → (𝐽 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅))))
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅)))
1611, 15bitri 263 . . . . 5 (𝐽𝐷 ↔ (𝐽 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅)))
1716simplbi 475 . . . 4 (𝐽𝐷𝐽 ∈ ℂ)
1817adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐽𝐷) → 𝐽 ∈ ℂ)
1916simprbi 479 . . . . 5 (𝐽𝐷 → (abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅))
20 0re 9919 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
21 ssrab2 3650 . . . . . . . . . 10 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
22 ressxr 9962 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2321, 22sstri 3577 . . . . . . . . 9 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
24 supxrcl 12017 . . . . . . . . 9 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
269, 25eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℝ*
27 elico2 12108 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐽) ∧ (abs‘𝐽) < 𝑅)))
2820, 26, 27mp2an 704 . . . . . 6 ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐽) ∧ (abs‘𝐽) < 𝑅))
2928simp3bi 1071 . . . . 5 ((abs‘𝐽) ∈ (0[,)𝑅) → (abs‘𝐽) < 𝑅)
3019, 29syl 17 . . . 4 (𝐽𝐷 → (abs‘𝐽) < 𝑅)
3130adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐽𝐷) → (abs‘𝐽) < 𝑅)
321, 8, 9, 18, 31radcnvlt2 23977 . 2 ((𝜑𝐽𝐷) → seq0( + , (𝑆𝐽)) ∈ dom ⇝ )
33 binomcxplem.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
3433a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
35 simplr 788 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝐽)
3635oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝐽↑(𝑘 − 1)))
3736oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))
3837mpteq2dva 4672 . . . . . 6 (((𝜑𝐽 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝐽) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
39 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℂ) → 𝐽 ∈ ℂ)
40 nnex 10903 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
4140mptex 6390 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
4241a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
4334, 38, 39, 42fvmptd 6197 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ ℂ) → (𝐸𝐽) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
4417, 43sylan2 490 . . . 4 ((𝜑𝐽𝐷) → (𝐸𝐽) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))))
4544seqeq3d 12671 . . 3 ((𝜑𝐽𝐷) → seq1( + , (𝐸𝐽)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))))
46 eqid 2610 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))
471, 9, 46, 8, 18, 31dvradcnv2 37568 . . 3 ((𝜑𝐽𝐷) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝐽↑(𝑘 − 1))))) ∈ dom ⇝ )
4845, 47eqeltrd 2688 . 2 ((𝜑𝐽𝐷) → seq1( + , (𝐸𝐽)) ∈ dom ⇝ )
4932, 48jca 553 1 ((𝜑𝐽𝐷) → (seq0( + , (𝑆𝐽)) ∈ dom ⇝ ∧ seq1( + , (𝐸𝐽)) ∈ dom ⇝ ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  C𝑐cbcc 37557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-fallfac 14577  df-bcc 37558 This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  37577
 Copyright terms: Public domain W3C validator