Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemdvsum 37576
 Description: Lemma for binomcxp 37578. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 37570. Part of remark "This convergence allows us to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
binomcxplem.e 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
binomcxplem.d 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
binomcxplem.p 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvsum (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑏,𝐹   𝜑,𝑏,𝑘   𝑟,𝑏,𝑘,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑘,𝑟,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑃(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐸(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem binomcxplemdvsum
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
2 binomcxplem.p . . . . 5 𝑃 = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘))
3 binomcxplem.d . . . . . . 7 𝐷 = (abs “ (0[,)𝑅))
4 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑏abs
5 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑏0
6 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑏[,)
7 binomcxplem.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏 +
9 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
101, 9nfcxfr 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏𝑆
11 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏𝑟
1210, 11nffv 6110 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑆𝑟)
135, 8, 12nfseq 12673 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟))
1413nfel1 2765 . . . . . . . . . . . 12 𝑏seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
15 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑏
1614, 15nfrab 3100 . . . . . . . . . . 11 𝑏{𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }
17 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑏*
18 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑏 <
1916, 17, 18nfsup 8240 . . . . . . . . . 10 𝑏sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
207, 19nfcxfr 2749 . . . . . . . . 9 𝑏𝑅
215, 6, 20nfov 6575 . . . . . . . 8 𝑏(0[,)𝑅)
224, 21nfima 5393 . . . . . . 7 𝑏(abs “ (0[,)𝑅))
233, 22nfcxfr 2749 . . . . . 6 𝑏𝐷
24 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑦𝐷
25 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)
26 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑏0
27 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑏𝑦
2810, 27nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑏(𝑆𝑦)
29 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑏𝑚
3028, 29nffv 6110 . . . . . . 7 𝑏((𝑆𝑦)‘𝑚)
3126, 30nfsum 14269 . . . . . 6 𝑏Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚)
32 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝑦𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑦)
3332fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑦𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑏) = (𝑆𝑦))
3433fveq1d 6105 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑦𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆𝑏)‘𝑘) = ((𝑆𝑦)‘𝑘))
3534sumeq2dv 14281 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑘))
36 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑚((𝑆𝑦)‘𝑘)
37 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑘
38 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
3937, 38nfmpt 4674 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
401, 39nfcxfr 2749 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑆
41 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑦
4240, 41nffv 6110 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑆𝑦)
43 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚
4442, 43nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑘((𝑆𝑦)‘𝑚)
45 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑆𝑦)‘𝑘) = ((𝑆𝑦)‘𝑚))
4636, 44, 45cbvsumi 14275 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚)
4735, 46syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚))
4823, 24, 25, 31, 47cbvmptf 4676 . . . . 5 (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑏)‘𝑘)) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚))
492, 48eqtri 2632 . . . 4 𝑃 = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑆𝑦)‘𝑚))
50 ovex 6577 . . . . . 6 (𝐶C𝑐𝑗) ∈ V
5150a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ V)
52 binomcxplem.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
5352a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
5452a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
55 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
5655oveq2d 6565 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
57 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
58 binomcxp.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5958adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
6059, 57bcccl 37560 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
6154, 56, 57, 60fvmptd 6197 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
6261, 60eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
6351, 53, 62fmpt2d 6300 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℂ)
64 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑟
65 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑧
66 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑧seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝
67 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑟0
68 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑟 +
69 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑟(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
701, 69nfcxfr 2749 . . . . . . . . . 10 𝑟𝑆
71 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑟𝑧
7270, 71nffv 6110 . . . . . . . . 9 𝑟(𝑆𝑧)
7367, 68, 72nfseq 12673 . . . . . . . 8 𝑟seq0( + , (𝑆𝑧))
7473nfel1 2765 . . . . . . 7 𝑟seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝
75 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (𝑆𝑟) = (𝑆𝑧))
7675seqeq3d 12671 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑧 → seq0( + , (𝑆𝑟)) = seq0( + , (𝑆𝑧)))
7776eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑧 → (seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
7864, 65, 66, 74, 77cbvrab 3171 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }
7978supeq1i 8236 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
807, 79eqtri 2632 . . . 4 𝑅 = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
811fveq1i 6104 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)
82 seqeq3 12668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , (𝑆𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)))
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq0( + , (𝑆𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧))
8483eleq1i 2679 . . . . . . . . . 10 (seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
8584a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → (seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
8685rabbiia 3161 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
8786supeq1i 8236 . . . . . . 7 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
887, 79, 873eqtrri 2637 . . . . . 6 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = 𝑅
8988eleq1i 2679 . . . . 5 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ)
9088oveq2i 6560 . . . . . 6 ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + 𝑅)
9190oveq1i 6559 . . . . 5 (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2)
92 eqid 2610 . . . . 5 ((abs‘𝑥) + 1) = ((abs‘𝑥) + 1)
9389, 91, 92ifbieq12i 4062 . . . 4 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
94 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤𝑘) = (𝑏𝑘))
9594oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑏 → ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))
9695mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑏 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
9796cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
9897fveq1i 6104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)
99 seqeq3 12668 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧) → seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)))
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧))
101100eleq1i 2679 . . . . . . . . . . . 12 (seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ )
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → (seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ ))
103102rabbiia 3161 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ } = {𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }
104103supeq1i 8236 . . . . . . . . 9 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
105104eleq1i 2679 . . . . . . . 8 (sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
106104oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = ((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
107106oveq1i 6559 . . . . . . . 8 (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2) = (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2)
108105, 107, 92ifbieq12i 4062 . . . . . . 7 if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)) = if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))
109108oveq2i 6560 . . . . . 6 ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) = ((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1)))
110109oveq1i 6559 . . . . 5 (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2) = (((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)
111110oveq2i 6560 . . . 4 (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑤𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑥) + if(sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ, (((abs‘𝑥) + sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))‘𝑧)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) / 2), ((abs‘𝑥) + 1))) / 2))
1121, 49, 63, 80, 3, 93, 111pserdv2 23988 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
113 cnvimass 5404 . . . . . . . 8 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
1143, 113eqsstri 3598 . . . . . . 7 𝐷 ⊆ dom abs
115 absf 13925 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
116115fdmi 5965 . . . . . . 7 dom abs = ℂ
117114, 116sseqtri 3600 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
118117sseli 3564 . . . . 5 (𝑦𝐷𝑦 ∈ ℂ)
119 binomcxplem.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝐸 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))))
121 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑏 = 𝑦)
122121oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑏↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑘 − 1)))
123122oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))) = ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))))
124123mpteq2dva 4672 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
125 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
126 nnex 10903 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
127126mptex 6390 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
129120, 124, 125, 128fvmptd 6197 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐸𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
130129adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑦) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
131 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → 𝑘 = 𝑛)
132131fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
133131, 132oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 · (𝐹𝑘)) = (𝑛 · (𝐹𝑛)))
134131oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
135134oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑(𝑛 − 1)))
136133, 135oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑛) → ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
137 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
138 ovex 6577 . . . . . . . 8 ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))) ∈ V
139138a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))) ∈ V)
140130, 136, 137, 139fvmptd 6197 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑦)‘𝑛) = ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
141140sumeq2dv 14281 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
142118, 141sylan2 490 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1))))
143142mpteq2dva 4672 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · (𝐹𝑛)) · (𝑦↑(𝑛 − 1)))))
144112, 143eqtr4d 2647 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)))
145 nfcv 2751 . . . 4 𝑏
146 nfmpt1 4675 . . . . . . 7 𝑏(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
147119, 146nfcxfr 2749 . . . . . 6 𝑏𝐸
148147, 27nffv 6110 . . . . 5 𝑏(𝐸𝑦)
149 nfcv 2751 . . . . 5 𝑏𝑛
150148, 149nffv 6110 . . . 4 𝑏((𝐸𝑦)‘𝑛)
151145, 150nfsum 14269 . . 3 𝑏Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)
152 nfcv 2751 . . 3 𝑦Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)
153 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑏𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 = 𝑏)
154153fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝑦 = 𝑏𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑦) = (𝐸𝑏))
155154fveq1d 6105 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑏𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑦)‘𝑛) = ((𝐸𝑏)‘𝑛))
156155sumeq2dv 14281 . . . 4 (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑛))
157 nfmpt1 4675 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
15837, 157nfmpt 4674 . . . . . . . 8 𝑘(𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · (𝐹𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
159119, 158nfcxfr 2749 . . . . . . 7 𝑘𝐸
160 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑘𝑏
161159, 160nffv 6110 . . . . . 6 𝑘(𝐸𝑏)
162 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑘𝑛
163161, 162nffv 6110 . . . . 5 𝑘((𝐸𝑏)‘𝑛)
164 nfcv 2751 . . . . 5 𝑛((𝐸𝑏)‘𝑘)
165 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑏)‘𝑛) = ((𝐸𝑏)‘𝑘))
166163, 164, 165cbvsumi 14275 . . . 4 Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)
167156, 166syl6eq 2660 . . 3 (𝑦 = 𝑏 → Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘))
16824, 23, 151, 152, 167cbvmptf 4676 . 2 (𝑦𝐷 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝐸𝑦)‘𝑛)) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘))
169144, 168syl6eq 2660 1 (𝜑 → (ℂ D 𝑃) = (𝑏𝐷 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐸𝑏)‘𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264  ballcbl 19554   D cdv 23433  C𝑐cbcc 37557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-fallfac 14577  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ulm 23935  df-bcc 37558 This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  37577
 Copyright terms: Public domain W3C validator