Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvsum Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem binomcxplemdvsum 36774
 Description: Lemma for binomcxp 36776. The derivative of the generalized sum in binomcxplemnn0 36768. Part of remark "This convergence allows us to apply term-by-term differentiation..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a
binomcxp.b
binomcxp.lt
binomcxp.c
binomcxplem.f C𝑐
binomcxplem.s
binomcxplem.r
binomcxplem.e
binomcxplem.d
binomcxplem.p
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvsum
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   ()

Proof of Theorem binomcxplemdvsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4
2 binomcxplem.p . . . . 5
3 binomcxplem.d . . . . . . 7
4 nfcv 2612 . . . . . . . 8
5 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
6 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
7 binomcxplem.r . . . . . . . . . 10
8 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
9 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101, 9nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
1210, 11nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . 14
135, 8, 12nfseq 12261 . . . . . . . . . . . . 13
1413nfel1 2626 . . . . . . . . . . . 12
15 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15nfrab 2958 . . . . . . . . . . 11
17 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
18 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
1916, 17, 18nfsup 7983 . . . . . . . . . 10
207, 19nfcxfr 2610 . . . . . . . . 9
215, 6, 20nfov 6334 . . . . . . . 8
224, 21nfima 5182 . . . . . . 7
233, 22nfcxfr 2610 . . . . . 6
24 nfcv 2612 . . . . . 6
25 nfcv 2612 . . . . . 6
26 nfcv 2612 . . . . . . 7
27 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
2810, 27nffv 5886 . . . . . . . 8
29 nfcv 2612 . . . . . . . 8
3028, 29nffv 5886 . . . . . . 7
3126, 30nfsum 13834 . . . . . 6
32 simpl 464 . . . . . . . . . 10
3332fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
3433fveq1d 5881 . . . . . . . 8
3534sumeq2dv 13846 . . . . . . 7
36 nfcv 2612 . . . . . . . 8
37 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
38 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38nfmpt 4484 . . . . . . . . . . 11
401, 39nfcxfr 2610 . . . . . . . . . 10
41 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
4240, 41nffv 5886 . . . . . . . . 9
43 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
4442, 43nffv 5886 . . . . . . . 8
45 fveq2 5879 . . . . . . . 8
4636, 44, 45cbvsumi 13840 . . . . . . 7
4735, 46syl6eq 2521 . . . . . 6
4823, 24, 25, 31, 47cbvmptf 4486 . . . . 5
492, 48eqtri 2493 . . . 4
50 ovex 6336 . . . . . 6 C𝑐
5150a1i 11 . . . . 5 C𝑐
52 binomcxplem.f . . . . . 6 C𝑐
5352a1i 11 . . . . 5 C𝑐
5452a1i 11 . . . . . . 7 C𝑐
55 simpr 468 . . . . . . . 8
5655oveq2d 6324 . . . . . . 7 C𝑐 C𝑐
57 simpr 468 . . . . . . 7
58 binomcxp.c . . . . . . . . 9
5958adantr 472 . . . . . . . 8
6059, 57bcccl 36758 . . . . . . 7 C𝑐
6154, 56, 57, 60fvmptd 5969 . . . . . 6 C𝑐
6261, 60eqeltrd 2549 . . . . 5
6351, 53, 62fmpt2d 6069 . . . 4
64 nfcv 2612 . . . . . . 7
65 nfcv 2612 . . . . . . 7
66 nfv 1769 . . . . . . 7
67 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
68 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
69 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
701, 69nfcxfr 2610 . . . . . . . . . 10
71 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
7270, 71nffv 5886 . . . . . . . . 9
7367, 68, 72nfseq 12261 . . . . . . . 8
7473nfel1 2626 . . . . . . 7
75 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
7675seqeq3d 12259 . . . . . . . 8
7776eleq1d 2533 . . . . . . 7
7864, 65, 66, 74, 77cbvrab 3029 . . . . . 6
7978supeq1i 7979 . . . . 5
807, 79eqtri 2493 . . . 4
811fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . 12
82 seqeq3 12256 . . . . . . . . . . . 12
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
8483eleq1i 2540 . . . . . . . . . 10
8584a1i 11 . . . . . . . . 9
8685rabbiia 3019 . . . . . . . 8
8786supeq1i 7979 . . . . . . 7
887, 79, 873eqtrri 2498 . . . . . 6
8988eleq1i 2540 . . . . 5
9088oveq2i 6319 . . . . . 6
9190oveq1i 6318 . . . . 5
92 eqid 2471 . . . . 5
9389, 91, 92ifbieq12i 3898 . . . 4
94 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9594oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897fveq1i 5880 . . . . . . . . . . . . . 14
99 seqeq3 12256 . . . . . . . . . . . . . 14
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
101100eleq1i 2540 . . . . . . . . . . . 12
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11
103102rabbiia 3019 . . . . . . . . . 10
104103supeq1i 7979 . . . . . . . . 9
105104eleq1i 2540 . . . . . . . 8
106104oveq2i 6319 . . . . . . . . 9
107106oveq1i 6318 . . . . . . . 8
108105, 107, 92ifbieq12i 3898 . . . . . . 7
109108oveq2i 6319 . . . . . 6
110109oveq1i 6318 . . . . 5
111110oveq2i 6319 . . . 4
1121, 49, 63, 80, 3, 93, 111pserdv2 23464 . . 3
113 cnvimass 5194 . . . . . . . 8
1143, 113eqsstri 3448 . . . . . . 7
115 absf 13477 . . . . . . . 8
116115fdmi 5746 . . . . . . 7
117114, 116sseqtri 3450 . . . . . 6
118117sseli 3414 . . . . 5
119 binomcxplem.e . . . . . . . . . 10
120119a1i 11 . . . . . . . . 9
121 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
122121oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
123122oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
124123mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9
125 simpr 468 . . . . . . . . 9
126 nnex 10637 . . . . . . . . . . 11
127126mptex 6152 . . . . . . . . . 10
128127a1i 11 . . . . . . . . 9
129120, 124, 125, 128fvmptd 5969 . . . . . . . 8
130129adantr 472 . . . . . . 7
131 simpr 468 . . . . . . . . 9
132131fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
133131, 132oveq12d 6326 . . . . . . . 8
134131oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
135134oveq2d 6324 . . . . . . . 8
136133, 135oveq12d 6326 . . . . . . 7
137 simpr 468 . . . . . . 7
138 ovex 6336 . . . . . . . 8
139138a1i 11 . . . . . . 7
140130, 136, 137, 139fvmptd 5969 . . . . . 6
141140sumeq2dv 13846 . . . . 5
142118, 141sylan2 482 . . . 4
143142mpteq2dva 4482 . . 3
144112, 143eqtr4d 2508 . 2
145 nfcv 2612 . . . 4
146 nfmpt1 4485 . . . . . . 7
147119, 146nfcxfr 2610 . . . . . 6
148147, 27nffv 5886 . . . . 5
149 nfcv 2612 . . . . 5
150148, 149nffv 5886 . . . 4
151145, 150nfsum 13834 . . 3
152 nfcv 2612 . . 3
153 simpl 464 . . . . . . 7
154153fveq2d 5883 . . . . . 6
155154fveq1d 5881 . . . . 5
156155sumeq2dv 13846 . . . 4
157 nfmpt1 4485 . . . . . . . . 9
15837, 157nfmpt 4484 . . . . . . . 8
159119, 158nfcxfr 2610 . . . . . . 7
160 nfcv 2612 . . . . . . 7
161159, 160nffv 5886 . . . . . 6
162 nfcv 2612 . . . . . 6
163161, 162nffv 5886 . . . . 5
164 nfcv 2612 . . . . 5
165 fveq2 5879 . . . . 5
166163, 164, 165cbvsumi 13840 . . . 4
167156, 166syl6eq 2521 . . 3
16824, 23, 151, 152, 167cbvmptf 4486 . 2
169144, 168syl6eq 2521 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  crab 2760  cvv 3031  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838   cdm 4839  cima 4842   ccom 4843  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  crp 11325  cico 11662   cseq 12251  cexp 12310  cabs 13374   cli 13625  csu 13829  cbl 19034   cdv 22897  C𝑐cbcc 36755 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-fallfac 14137  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ulm 23411  df-bcc 36756 This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  36775
 Copyright terms: Public domain W3C validator