Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdv2 23988
 Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdv2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdv2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserf.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
2 pserf.f . . 3 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
3 pserf.a . . 3 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4 pserf.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
5 psercn.s . . 3 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
6 psercn.m . . 3 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
7 pserdv.b . . 3 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pserdv 23987 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑦𝑚))))
9 nn0uz 11598 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
10 nnuz 11599 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
11 1e0p1 11428 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1211fveq2i 6106 . . . . . 6 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
1310, 12eqtri 2632 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
14 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 = (1 + 𝑚) → 𝑘 = (1 + 𝑚))
15 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = (1 + 𝑚) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(1 + 𝑚)))
1614, 15oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑘 = (1 + 𝑚) → (𝑘 · (𝐴𝑘)) = ((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))))
17 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑘 = (1 + 𝑚) → (𝑘 − 1) = ((1 + 𝑚) − 1))
1817oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑘 = (1 + 𝑚) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1)))
1916, 18oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑘 = (1 + 𝑚) → ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = (((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))) · (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1))))
20 1zzd 11285 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → 1 ∈ ℤ)
21 0zd 11266 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ∈ ℤ)
22 nncn 10905 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
2322adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
243adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
25 nnnn0 11176 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
26 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2724, 25, 26syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2823, 27mulcld 9939 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
29 cnvimass 5404 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
30 absf 13925 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
3130fdmi 5965 . . . . . . . . . . 11 dom abs = ℂ
3229, 31sseqtri 3600 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
335, 32eqsstri 3598 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
3534sselda 3568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
36 nnm1nn0 11211 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
37 expcl 12740 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
3835, 36, 37syl2an 493 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
3928, 38mulcld 9939 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
409, 13, 19, 20, 21, 39isumshft 14410 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))) · (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1))))
41 ax-1cn 9873 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
42 nn0cn 11179 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
4342adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
44 addcom 10101 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (1 + 𝑚) = (𝑚 + 1))
4541, 43, 44sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 + 𝑚) = (𝑚 + 1))
4645fveq2d 6107 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(1 + 𝑚)) = (𝐴‘(𝑚 + 1)))
4745, 46oveq12d 6567 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))) = ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
48 pncan2 10167 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑚) − 1) = 𝑚)
4941, 43, 48sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑚) − 1) = 𝑚)
5049oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1)) = (𝑦𝑚))
5147, 50oveq12d 6567 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))) · (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1))) = (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑦𝑚)))
5251sumeq2dv 14281 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))) · (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1))) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑦𝑚)))
5340, 52eqtr2d 2645 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑦𝑚)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))))
5453mpteq2dva 4672 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑦𝑚))) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
558, 54eqtrd 2644 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  [,)cico 12048  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264  ballcbl 19554   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ulm 23935 This theorem is referenced by:  logtayl  24206  binomcxplemdvsum  37576
 Copyright terms: Public domain W3C validator