MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pserdv2 23464
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
psercn.s  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
psercn.m  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
pserdv.b  |-  B  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( ( abs `  a
)  +  M )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
pserdv2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, a,
k, n, r, x, y, A    j, M, k, y    B, j, k, x, y    j, G, k, r, y    S, a, j, k, y    F, a    ph, a, j, k, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    B( n, r, a)    R( x, y, j, k, n, r, a)    S( x, n, r)    F( x, y, j, k, n, r)    G( x, n, a)    M( x, n, r, a)

Proof of Theorem pserdv2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserf.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
2 pserf.f . . 3  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
3 pserf.a . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
4 pserf.r . . 3  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
5 psercn.s . . 3  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
6 psercn.m . . 3  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
7 pserdv.b . . 3  |-  B  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( ( abs `  a
)  +  M )  /  2 ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pserdv 23463 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  ( m  +  1
) ) )  x.  ( y ^ m
) ) ) )
9 nn0uz 11217 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
10 nnuz 11218 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11 1e0p1 11102 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1211fveq2i 5882 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
1310, 12eqtri 2493 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
14 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  k  =  ( 1  +  m ) )
15 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( 1  +  m
) ) )
1614, 15oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
k  x.  ( A `
 k ) )  =  ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  (
1  +  m ) ) ) )
17 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( 1  +  m )  - 
1 ) )
1817oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  =  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) )
1916, 18oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m
) ) )  x.  ( y ^ (
( 1  +  m
)  -  1 ) ) ) )
20 1zzd 10992 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  ZZ )
21 0zd 10973 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
22 nncn 10639 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
2322adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
243adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
25 nnnn0 10900 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
26 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
2724, 25, 26syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
2823, 27mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( A `
 k ) )  e.  CC )
29 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  dom  abs
30 absf 13477 . . . . . . . . . . . 12  |-  abs : CC
--> RR
3130fdmi 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  abs  =  CC
3229, 31sseqtri 3450 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  CC
335, 32eqsstri 3448 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  CC
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
3534sselda 3418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
36 nnm1nn0 10935 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
37 expcl 12328 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( y ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
3835, 36, 37syl2an 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  e.  CC )
3928, 38mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
409, 13, 19, 20, 21, 39isumshft 13974 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( (
( 1  +  m
)  x.  ( A `
 ( 1  +  m ) ) )  x.  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) ) )
41 ax-1cn 9615 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
42 nn0cn 10903 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
4342adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
44 addcom 9837 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 1  +  m
)  =  ( m  +  1 ) )
4541, 43, 44sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
1  +  m )  =  ( m  + 
1 ) )
4645fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  ( 1  +  m ) )  =  ( A `  (
m  +  1 ) ) )
4745, 46oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  m
)  x.  ( A `
 ( 1  +  m ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) ) )
48 pncan2 9902 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  m )  -  1 )  =  m )
4941, 43, 48sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  m
)  -  1 )  =  m )
5049oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
y ^ ( ( 1  +  m )  -  1 ) )  =  ( y ^
m ) )
5147, 50oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m ) ) )  x.  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) )  x.  (
y ^ m ) ) )
5251sumeq2dv 13846 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m
) ) )  x.  ( y ^ (
( 1  +  m
)  -  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( (
( m  +  1 )  x.  ( A `
 ( m  + 
1 ) ) )  x.  ( y ^
m ) ) )
5340, 52eqtr2d 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  ( m  +  1
) ) )  x.  ( y ^ m
) )  =  sum_ k  e.  NN  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
5453mpteq2dva 4482 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |-> 
sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) )  x.  (
y ^ m ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
558, 54eqtrd 2505 1  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {crab 2760    C_ wss 3390   ifcif 3872    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   [,)cico 11662    seqcseq 12251   ^cexp 12310   abscabs 13374    ~~> cli 13625   sum_csu 13829   ballcbl 19034    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ulm 23411
This theorem is referenced by:  logtayl  23684  binomcxplemdvsum  36774
  Copyright terms: Public domain W3C validator