MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv2 Structured version   Unicode version

Theorem pserdv2 22994
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
pserf.f  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
pserf.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
pserf.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
psercn.s  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
psercn.m  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
pserdv.b  |-  B  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( ( abs `  a
)  +  M )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
pserdv2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, a,
k, n, r, x, y, A    j, M, k, y    B, j, k, x, y    j, G, k, r, y    S, a, j, k, y    F, a    ph, a, j, k, y
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    B( n, r, a)    R( x, y, j, k, n, r, a)    S( x, n, r)    F( x, y, j, k, n, r)    G( x, n, a)    M( x, n, r, a)

Proof of Theorem pserdv2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserf.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
2 pserf.f . . 3  |-  F  =  ( y  e.  S  |-> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( G `  y ) `  j
) )
3 pserf.a . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
4 pserf.r . . 3  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
5 psercn.s . . 3  |-  S  =  ( `' abs " (
0 [,) R ) )
6 psercn.m . . 3  |-  M  =  if ( R  e.  RR ,  ( ( ( abs `  a
)  +  R )  /  2 ) ,  ( ( abs `  a
)  +  1 ) )
7 pserdv.b . . 3  |-  B  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( ( abs `  a
)  +  M )  /  2 ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pserdv 22993 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  ( m  +  1
) ) )  x.  ( y ^ m
) ) ) )
9 nn0uz 11116 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
10 nnuz 11117 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11 1e0p1 11004 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1211fveq2i 5851 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
1310, 12eqtri 2483 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
14 id 22 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  k  =  ( 1  +  m ) )
15 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( 1  +  m
) ) )
1614, 15oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
k  x.  ( A `
 k ) )  =  ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  (
1  +  m ) ) ) )
17 oveq1 6277 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( 1  +  m )  - 
1 ) )
1817oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  =  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) )
1916, 18oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( k  =  ( 1  +  m )  ->  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m
) ) )  x.  ( y ^ (
( 1  +  m
)  -  1 ) ) ) )
20 1zzd 10891 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  ZZ )
21 0zd 10872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
22 nncn 10539 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
2322adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
243adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  A : NN0 --> CC )
25 nnnn0 10798 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
26 ffvelrn 6005 . . . . . . . 8  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
2724, 25, 26syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
2823, 27mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( A `
 k ) )  e.  CC )
29 cnvimass 5345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  dom  abs
30 absf 13255 . . . . . . . . . . . 12  |-  abs : CC
--> RR
3130fdmi 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  abs  =  CC
3229, 31sseqtri 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) 
C_  CC
335, 32eqsstri 3519 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  CC
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
3534sselda 3489 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
36 nnm1nn0 10833 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
37 expcl 12169 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( y ^ (
k  -  1 ) )  e.  CC )
3835, 36, 37syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  e.  CC )
3928, 38mulcld 9605 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
409, 13, 19, 20, 21, 39isumshft 13736 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( (
( 1  +  m
)  x.  ( A `
 ( 1  +  m ) ) )  x.  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) ) )
41 ax-1cn 9539 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
42 nn0cn 10801 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
4342adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
44 addcom 9755 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 1  +  m
)  =  ( m  +  1 ) )
4541, 43, 44sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
1  +  m )  =  ( m  + 
1 ) )
4645fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  ( 1  +  m ) )  =  ( A `  (
m  +  1 ) ) )
4745, 46oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  m
)  x.  ( A `
 ( 1  +  m ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) ) )
48 pncan2 9818 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  m )  -  1 )  =  m )
4941, 43, 48sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  m
)  -  1 )  =  m )
5049oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
y ^ ( ( 1  +  m )  -  1 ) )  =  ( y ^
m ) )
5147, 50oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m ) ) )  x.  ( y ^
( ( 1  +  m )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) )  x.  (
y ^ m ) ) )
5251sumeq2dv 13610 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( 1  +  m )  x.  ( A `  ( 1  +  m
) ) )  x.  ( y ^ (
( 1  +  m
)  -  1 ) ) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( (
( m  +  1 )  x.  ( A `
 ( m  + 
1 ) ) )  x.  ( y ^
m ) ) )
5340, 52eqtr2d 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  ( m  +  1
) ) )  x.  ( y ^ m
) )  =  sum_ k  e.  NN  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
5453mpteq2dva 4525 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |-> 
sum_ m  e.  NN0  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( A `  (
m  +  1 ) ) )  x.  (
y ^ m ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  (
( k  x.  ( A `  k )
)  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
558, 54eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( y  e.  S  |->  sum_ k  e.  NN  ( ( k  x.  ( A `  k ) )  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {crab 2808    C_ wss 3461   ifcif 3929    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   "cima 4991    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11082   [,)cico 11534    seqcseq 12092   ^cexp 12151   abscabs 13152    ~~> cli 13392   sum_csu 13593   ballcbl 18603    _D cdv 22436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440  df-ulm 22941
This theorem is referenced by:  logtayl  23212  binomcxplemdvsum  31504
  Copyright terms: Public domain W3C validator