Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxp 37578
 Description: Generalize the binomial theorem binom 14401 to positive real summand 𝐴, real summand 𝐵, and complex exponent 𝐶. Proof in https://en.wikibooks.org/wiki/Advanced_Calculus; see also https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_series, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem (sections "Newton's generalized binomial theorem" and "Future generalizations"), and proof "General Binomial Theorem" in https://proofwiki.org/wiki/Binomial_Theorem. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
binomcxp (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem binomcxp
Dummy variables 𝑗 𝑏 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 binomcxp.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 binomcxp.lt . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
4 binomcxp.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4binomcxplemnn0 37570 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
6 eqid 2610 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
7 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘))
8 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑏𝑥) = (𝑏𝑘))
97, 8oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥)) = (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏𝑘)))
109cbvmptv 4678 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏𝑘)))
1110mpteq2i 4669 . . 3 (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘) · (𝑏𝑘))))
12 eqid 2610 . . 3 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
13 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘𝑥 = 𝑘)
14 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑗 → (𝐶C𝑐𝑦) = (𝐶C𝑐𝑗))
1514cbvmptv 4678 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
1716, 13fveq12d 6109 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘))
1813, 17oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) = (𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)))
19 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 − 1) = (𝑘 − 1))
2019oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑏↑(𝑥 − 1)) = (𝑏↑(𝑘 − 1)))
2118, 20oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1))) = ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
2221cbvmptv 4678 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1))))
2322mpteq2i 4669 . . 3 (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝑥 · ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑦))‘𝑥)) · (𝑏↑(𝑥 − 1))))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑘 · ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑘)) · (𝑏↑(𝑘 − 1)))))
24 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑗 → (𝐶C𝑐𝑥) = (𝐶C𝑐𝑗))
2524cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥)) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
2625fveq1i 6104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥)
2726oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥)) = (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))
2827mpteq2i 4669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥)))
2928mpteq2i 4669 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥)))) = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))
3029fveq1i 6104 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)
31 seqeq3 12668 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟) = ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟) → seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟))
3332eleq1i 2679 . . . . . . . 8 (seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ )
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ → (seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ))
3534rabbiia 3161 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }
3635supeq1i 8236 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3736oveq2i 6560 . . . 4 (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )) = (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
3837imaeq2i 5383 . . 3 (abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) = (abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )))
39 eqid 2610 . . 3 (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑏)‘𝑘)) = (𝑏 ∈ (abs “ (0[,)sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑥))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))‘𝑥) · (𝑏𝑥))))‘𝑏)‘𝑘))
401, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 23, 38, 39binomcxplemnotnn0 37577 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
415, 40pm2.61dan 828 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑐𝐶) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐴𝑐(𝐶𝑘)) · (𝐵𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264  ↑𝑐ccxp 24106  C𝑐cbcc 37557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-risefac 14576  df-fallfac 14577  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ulm 23935  df-log 24107  df-cxp 24108  df-bcc 37558 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator