Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sblpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sblpnf 37531
 Description: The infinity ball in the absolute value metric is just the whole space. 𝑆 analogue of blpnf 22012. (Contributed by Steve Rodriguez, 8-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sblpnf.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
sblpnf.d 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
Assertion
Ref Expression
sblpnf ((𝜑𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)

Proof of Theorem sblpnf
StepHypRef Expression
1 sblpnf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 elpri 4145 . . 3 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
3 sblpnf.d . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
4 eqid 2610 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54remet 22401 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
6 xpeq12 5058 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℝ ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
76anidms 675 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℝ → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
87reseq2d 5317 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑆 = ℝ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℝ))
108, 9eleq12d 2682 . . . . . 6 (𝑆 = ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)))
115, 10mpbiri 247 . . . . 5 (𝑆 = ℝ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
123, 11syl5eqel 2692 . . . 4 (𝑆 = ℝ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
13 relco 5550 . . . . . . . . 9 Rel (abs ∘ − )
14 resdm 5361 . . . . . . . . 9 (Rel (abs ∘ − ) → ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = (abs ∘ − )
16 absf 13925 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
17 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
18 fss 5969 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → abs:ℂ⟶ℂ)
1916, 17, 18mp2an 704 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℂ
20 subf 10162 . . . . . . . . . . 11 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
21 fco 5971 . . . . . . . . . . 11 ((abs:ℂ⟶ℂ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
2219, 20, 21mp2an 704 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2322fdmi 5965 . . . . . . . . 9 dom (abs ∘ − ) = (ℂ × ℂ)
2423reseq2i 5314 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ dom (abs ∘ − )) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
2515, 24eqtr3i 2634 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ))
26 cnmet 22385 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2725, 26eqeltrri 2685 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)
28 xpeq12 5058 . . . . . . . . 9 ((𝑆 = ℂ ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
2928anidms 675 . . . . . . . 8 (𝑆 = ℂ → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
3029reseq2d 5317 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
31 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑆 = ℂ → (Met‘𝑆) = (Met‘ℂ))
3230, 31eleq12d 2682 . . . . . 6 (𝑆 = ℂ → (((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆) ↔ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) ∈ (Met‘ℂ)))
3327, 32mpbiri 247 . . . . 5 (𝑆 = ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (Met‘𝑆))
343, 33syl5eqel 2692 . . . 4 (𝑆 = ℂ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
3512, 34jaoi 393 . . 3 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
361, 2, 353syl 18 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑆))
37 blpnf 22012 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑆) ∧ 𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
3836, 37sylan 487 1 ((𝜑𝑃𝑆) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   × cxp 5036  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  Rel wrel 5043  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950   − cmin 10145  abscabs 13822  Metcme 19553  ballcbl 19554 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562 This theorem is referenced by:  dvconstbi  37555
 Copyright terms: Public domain W3C validator