Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extoimad Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: If |f(x)| <= C for all x then it applies to all x in the image of |f(x)| (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
extoimad.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
extoimad (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

StepHypRef Expression
1 extoimad.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶)
2 extoimad.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
32ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
43recnd 9947 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
54abscld 14023 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6 imaco 5557 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
87eleq2d 2673 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ 𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))))
9 absf 13925 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
11 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
1310, 12fssresd 5984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
142, 13fco2d 37481 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
15 ffn 5958 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ))
1714, 16mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
18 ssid 3587 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
2017, 19fvelimabd 6164 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
21 eqcom 2617 . . . . . . . 8 (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2322rexbidv 3034 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2420, 23bitrd 267 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
252adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
26 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
2725, 26fvco3d 37484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝑦)))
2827eqcomd 2616 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑦)) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
2928eqeq2d 2620 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
3029rexbidva 3031 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
3124, 30bitr4d 270 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))))
328, 31bitr3d 269 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))))
33 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))) → 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)))
3433breq1d 4593 . . 3 ((𝜑𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))) → (𝑥𝐶 ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶))
355, 32, 34ralxfr2d 4808 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶))
361, 35mpbird 246 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   “ cima 5041   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  37487  imo72b2lem2  37489  imo72b2lem1  37493  imo72b2  37497
 Copyright terms: Public domain W3C validator