MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem absf 13400
Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absf  |-  abs : CC
--> RR

Proof of Theorem absf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abs 13299 . 2  |-  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x ) ) ) )
2 absval 13301 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  =  ( sqr `  (
x  x.  ( * `
 x ) ) ) )
3 abscl 13341 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
42, 3eqeltrrd 2530 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x
) ) )  e.  RR )
51, 4fmpti 6045 1  |-  abs : CC
--> RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1887   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538    x. cmul 9544   *ccj 13159   sqrcsqrt 13296   abscabs 13297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299
This theorem is referenced by:  lo1o1  13596  lo1o12  13597  abscn2  13662  climabs  13667  rlimabs  13672  cnfldds  18980  absabv  19025  cnmet  21792  cnbl0  21794  cnblcld  21795  cnfldms  21796  cnfldnm  21799  abscncf  21933  cnfldcusp  22324  ovolfsf  22424  ovolctb  22443  iblabslem  22785  iblabs  22786  bddmulibl  22796  dvlip2  22947  c1liplem1  22948  pserulm  23377  psercn2  23378  psercnlem2  23379  psercnlem1  23380  psercn  23381  pserdvlem1  23382  pserdvlem2  23383  pserdv  23384  pserdv2  23385  abelth  23396  efif1olem3  23493  efif1olem4  23494  efifo  23496  eff1olem  23497  logcn  23592  efopnlem1  23601  logtayl  23605  cnnv  26308  cnnvg  26309  cnnvs  26312  cnnvnm  26313  cncph  26460  mblfinlem2  31978  ftc1anclem1  32017  ftc1anclem2  32018  ftc1anclem3  32019  ftc1anclem4  32020  ftc1anclem5  32021  ftc1anclem6  32022  ftc1anclem7  32023  ftc1anclem8  32024  ftc1anc  32025  extoimad  36607  imo72b2lem0  36608  imo72b2lem2  36610  imo72b2lem1  36614  imo72b2  36619  sblpnf  36658  binomcxplemdvbinom  36702  binomcxplemcvg  36703  binomcxplemdvsum  36704  binomcxplemnotnn0  36705  absfun  37573  cncficcgt0  37766  fourierdlem42  38012  fourierdlem42OLD  38013  hoicvr  38370
  Copyright terms: Public domain W3C validator