MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absf Structured version   Unicode version

Theorem absf 13133
Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absf  |-  abs : CC
--> RR

Proof of Theorem absf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abs 13032 . 2  |-  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x ) ) ) )
2 absval 13034 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  =  ( sqr `  (
x  x.  ( * `
 x ) ) ) )
3 abscl 13074 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
42, 3eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x
) ) )  e.  RR )
51, 4fmpti 6044 1  |-  abs : CC
--> RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491    x. cmul 9497   *ccj 12892   sqrcsqrt 13029   abscabs 13030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032
This theorem is referenced by:  lo1o1  13318  lo1o12  13319  abscn2  13384  climabs  13389  rlimabs  13394  cnfldds  18229  absabv  18271  cnmet  21042  cnbl0  21044  cnblcld  21045  cnfldms  21046  cnfldnm  21049  abscncf  21168  cnfldcusp  21560  ovolfsf  21646  ovolctb  21664  iblabslem  21997  iblabs  21998  bddmulibl  22008  dvlip2  22159  c1liplem1  22160  pserulm  22579  psercn2  22580  psercnlem2  22581  psercnlem1  22582  psercn  22583  pserdvlem1  22584  pserdvlem2  22585  pserdv  22586  pserdv2  22587  abelth  22598  efif1olem3  22692  efif1olem4  22693  efifo  22695  eff1olem  22696  logcn  22784  efopnlem1  22793  logtayl  22797  cnnv  25286  cnnvg  25287  cnnvs  25290  cnnvnm  25291  cncph  25438  mblfinlem2  29657  ftc1anclem1  29695  ftc1anclem2  29696  ftc1anclem3  29697  ftc1anclem4  29698  ftc1anclem5  29699  ftc1anclem6  29700  ftc1anclem7  29701  ftc1anclem8  29702  ftc1anc  29703  sblpnf  30821  cncficcgt0  31255  fourierdlem42  31477
  Copyright terms: Public domain W3C validator