MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absf Structured version   Unicode version

Theorem absf 12824
Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absf  |-  abs : CC
--> RR

Proof of Theorem absf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abs 12724 . 2  |-  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x ) ) ) )
2 absval 12726 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  =  ( sqr `  (
x  x.  ( * `
 x ) ) ) )
3 abscl 12766 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
42, 3eqeltrrd 2517 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sqr `  ( x  x.  ( * `  x
) ) )  e.  RR )
51, 4fmpti 5865 1  |-  abs : CC
--> RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280    x. cmul 9286   *ccj 12584   sqrcsqr 12721   abscabs 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-seq 11806  df-exp 11865  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724
This theorem is referenced by:  lo1o1  13009  lo1o12  13010  abscn2  13075  climabs  13080  rlimabs  13085  cnfldds  17827  absabv  17869  cnmet  20350  cnbl0  20352  cnblcld  20353  cnfldms  20354  cnfldnm  20357  abscncf  20476  cnfldcusp  20868  ovolfsf  20954  ovolctb  20972  iblabslem  21304  iblabs  21305  bddmulibl  21315  dvlip2  21466  c1liplem1  21467  pserulm  21886  psercn2  21887  psercnlem2  21888  psercnlem1  21889  psercn  21890  pserdvlem1  21891  pserdvlem2  21892  pserdv  21893  pserdv2  21894  abelth  21905  efif1olem3  21999  efif1olem4  22000  efifo  22002  eff1olem  22003  logcn  22091  efopnlem1  22100  logtayl  22104  cnnv  24066  cnnvg  24067  cnnvs  24070  cnnvnm  24071  cncph  24218  mblfinlem2  28427  ftc1anclem1  28465  ftc1anclem2  28466  ftc1anclem3  28467  ftc1anclem4  28468  ftc1anclem5  28469  ftc1anclem6  28470  ftc1anclem7  28471  ftc1anclem8  28472  ftc1anc  28473  sblpnf  29594
  Copyright terms: Public domain W3C validator