Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ffvelrn 6265 |
. . . . 5
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) |
2 | 1 | recnd 9947 |
. . . 4
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) |
3 | | id 22 |
. . . . 5
⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ) |
4 | 3 | feqmptd 6159 |
. . . 4
⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡))) |
5 | | absf 13925 |
. . . . . 6
⊢
abs:ℂ⟶ℝ |
6 | 5 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ →
abs:ℂ⟶ℝ) |
7 | 6 | feqmptd 6159 |
. . . 4
⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦
(abs‘𝑥))) |
8 | | fveq2 6103 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑡))) |
9 | 2, 4, 7, 8 | fmptco 6303 |
. . 3
⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) |
10 | 9 | adantr 480 |
. 2
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) |
11 | 2 | abscld 14023 |
. . . . 5
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ) |
12 | | eqid 2610 |
. . . . 5
⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) |
13 | 11, 12 | fmptd 6292 |
. . . 4
⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ) |
14 | 13 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):𝐴⟶ℝ) |
15 | | fdm 5964 |
. . . . 5
⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴) |
16 | 15 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 = 𝐴) |
17 | | mbfdm 23201 |
. . . . 5
⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom
vol) |
18 | 17 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → dom 𝐹 ∈ dom vol) |
19 | 16, 18 | eqeltrrd 2689 |
. . 3
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → 𝐴 ∈ dom vol) |
20 | | rexr 9964 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈
ℝ*) |
21 | | elioopnf 12138 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ ℝ*
→ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ ℝ →
((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))) |
23 | 11 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))))) |
24 | 23 | bicomd 212 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡))) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))) |
25 | 22, 24 | sylan9bbr 733 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ 𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)))) |
26 | | ltnle 9996 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧
(abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥)) |
27 | 26 | ancoms 468 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥)) |
28 | 11, 27 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (abs‘(𝐹‘𝑡)) ↔ ¬ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥)) |
29 | | absle 13903 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥))) |
30 | 1, 29 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥))) |
31 | | renegcl 10223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈
ℝ) |
32 | | lenlt 9995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)) |
33 | 31, 1, 32 | syl2anr 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥)) |
34 | 1 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))) |
35 | 31 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈
ℝ*) |
36 | | elioomnf 12139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (-𝑥 ∈ ℝ*
→ ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))) |
37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥))) |
38 | 37 | bicomd 212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑡) < -𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥))) |
39 | 34, 38 | sylan9bb 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥))) |
40 | 39 | notbid 307 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹‘𝑡) < -𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥))) |
41 | 33, 40 | bitrd 267 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥))) |
42 | | lenlt 9995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))) |
43 | 1, 42 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡))) |
44 | 1 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))) |
45 | | elioopnf 12138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ ℝ*
→ ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))) |
46 | 20, 45 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)))) |
47 | 46 | bicomd 212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑡)) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))) |
48 | 44, 47 | sylan9bb 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))) |
49 | 48 | notbid 307 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))) |
50 | 43, 49 | bitrd 267 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))) |
51 | 41, 50 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝑥 ≤ (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ 𝑥) ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))) |
52 | 30, 51 | bitrd 267 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))) |
53 | 52 | notbid 307 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)))) |
54 | | elun 3715 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))) |
55 | | oran 516 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∨ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))) |
56 | 54, 55 | bitri 263 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)) ↔ ¬ (¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (-∞(,)-𝑥) ∧ ¬ (𝐹‘𝑡) ∈ (𝑥(,)+∞))) |
57 | 53, 56 | syl6bbr 277 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬
(abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)))) |
58 | 25, 28, 57 | 3bitrd 293 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)))) |
59 | 58 | an32s 842 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)))) |
60 | 59 | rabbidva 3163 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))}) |
61 | 12 | mptpreima 5545 |
. . . . . . . 8
⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} |
62 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) |
63 | 62 | mptpreima 5545 |
. . . . . . . 8
⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))} |
64 | 60, 61, 63 | 3eqtr4g 2669 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)))) |
65 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ) |
66 | 65 | feqmptd 6159 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡))) |
67 | 66 | cnveqd 5220 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ◡𝐹 = ◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡))) |
68 | 67 | imaeq1d 5384 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)))) |
69 | 64, 68 | eqtr4d 2647 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞)))) |
70 | | imaundi 5464 |
. . . . . 6
⊢ (◡𝐹 “ ((-∞(,)-𝑥) ∪ (𝑥(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) |
71 | 69, 70 | syl6eq 2660 |
. . . . 5
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)))) |
72 | 71 | adantlr 747 |
. . . 4
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)))) |
73 | | mbfima 23205 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol) |
74 | | mbfima 23205 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
75 | | unmbl 23112 |
. . . . . . 7
⊢ (((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
76 | 73, 74, 75 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
77 | 76 | ancoms 468 |
. . . . 5
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
78 | 77 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)-𝑥)) ∪ (◡𝐹 “ (𝑥(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
79 | 72, 78 | eqeltrd 2688 |
. . 3
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
80 | | abslt 13902 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥))) |
81 | 1, 80 | sylan 487 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥))) |
82 | | elioomnf 12139 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ ℝ*
→ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))) |
83 | 20, 82 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ℝ →
((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))) |
84 | 11 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥 ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥))) |
85 | 84 | bicomd 212 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)) |
86 | 83, 85 | sylan9bbr 733 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑡)) < 𝑥)) |
87 | 35, 20 | jca 553 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑥 ∈
ℝ*)) |
88 | 1 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑡) ∈
ℝ*) |
89 | | elioo5 12102 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑥 ∈
ℝ* ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥))) |
90 | 89 | 3expa 1257 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((-𝑥 ∈ ℝ*
∧ 𝑥 ∈
ℝ*) ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥))) |
91 | 87, 88, 90 | syl2anr 494 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥) ↔ (-𝑥 < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) < 𝑥))) |
92 | 81, 86, 91 | 3bitr4d 299 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥))) |
93 | 92 | an32s 842 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥))) |
94 | 93 | rabbidva 3163 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)}) |
95 | 12 | mptpreima 5545 |
. . . . . . 7
⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} |
96 | 62 | mptpreima 5545 |
. . . . . . 7
⊢ (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑡) ∈ (-𝑥(,)𝑥)} |
97 | 94, 95, 96 | 3eqtr4g 2669 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥))) |
98 | 67 | imaeq1d 5384 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) = (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑡)) “ (-𝑥(,)𝑥))) |
99 | 97, 98 | eqtr4d 2647 |
. . . . 5
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥))) |
100 | 99 | adantlr 747 |
. . . 4
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥))) |
101 | | mbfima 23205 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol) |
102 | 101 | ancoms 468 |
. . . . 5
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol) |
103 | 102 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-𝑥(,)𝑥)) ∈ dom vol) |
104 | 100, 103 | eqeltrd 2688 |
. . 3
⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (◡(𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol) |
105 | 14, 19, 79, 104 | ismbf2d 23214 |
. 2
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (𝑡 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn) |
106 | 10, 105 | eqeltrd 2688 |
1
⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn) |