Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncombf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncombf 23231
 Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, 𝐺 can be a Borel-measurable function, but notably the condition that 𝐺 be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 𝐺 to be the Cantor function and 𝐹 the indicator function of the 𝐺-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem cncombf
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1056 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ))
2 cncff 22504 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
4 simp2 1055 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐹:𝐴𝐵)
5 fco 5971 . . . 4 ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
63, 4, 5syl2anc 691 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
7 fdm 5964 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
84, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
9 mbfdm 23201 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
1093ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
118, 10eqeltrrd 2689 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
12 mblss 23106 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14 cnex 9896 . . . 4 ℂ ∈ V
15 reex 9906 . . . 4 ℝ ∈ V
16 elpm2r 7761 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
1714, 15, 16mpanl12 714 . . 3 (((𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
186, 13, 17syl2anc 691 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
19 recncf 22513 . . . . . . . 8 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
2019a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
211, 20cncfco 22518 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
2221adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
23 cnvco 5230 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝐹) = (𝐹𝑔)
2423imaeq1i 5382 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = ((𝐹𝑔) “ 𝑥)
25 imaco 5557 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑔) “ 𝑥) = (𝐹 “ (𝑔𝑥))
2624, 25eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = (𝐹 “ (𝑔𝑥))
27 simplll 794 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
28 simpllr 795 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝐹:𝐴𝐵)
29 cncfrss 22502 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
31 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ))
32 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
33 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
34 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)
3533tgioo2 22414 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3633, 34, 35cncfcn 22520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐵cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
3730, 32, 36sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → (𝐵cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
3831, 37eleqtrd 2690 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
39 retopbas 22374 . . . . . . . . . . . 12 ran (,) ∈ TopBases
40 bastg 20581 . . . . . . . . . . . 12 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
42 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ ran (,))
4341, 42sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
44 cnima 20879 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑔𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
4538, 43, 44syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → (𝑔𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
4633, 34mbfimaopn2 23230 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ (𝑔𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)) → (𝐹 “ (𝑔𝑥)) ∈ dom vol)
4727, 28, 30, 45, 46syl31anc 1321 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → (𝐹 “ (𝑔𝑥)) ∈ dom vol)
4826, 47syl5eqel 2692 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → ((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4948ralrimiva 2949 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
50493adantl3 1212 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
51 coeq1 5201 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
52 coass 5571 . . . . . . . . . 10 ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺𝐹))
5351, 52syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺𝐹)))
5453cnveqd 5220 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺𝐹)))
5554imaeq1d 5384 . . . . . . 7 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = ((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥))
5655eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
5756rspcv 3278 . . . . 5 ((ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ) → (∀𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol → ((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
5822, 50, 57sylc 63 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
59 imcncf 22514 . . . . . . . 8 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
6059a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
611, 60cncfco 22518 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
6261adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
63 coeq1 5201 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
64 coass 5571 . . . . . . . . . 10 ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺𝐹))
6563, 64syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺𝐹)))
6665cnveqd 5220 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺𝐹)))
6766imaeq1d 5384 . . . . . . 7 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥))
6867eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
6968rspcv 3278 . . . . 5 ((ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ) → (∀𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol → ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
7062, 50, 69sylc 63 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
7158, 70jca 553 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
7271ralrimiva 2949 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
73 ismbf1 23199 . 2 ((𝐺𝐹) ∈ MblFn ↔ ((𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
7418, 72, 73sylanbrc 695 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑pm cpm 7745  ℂcc 9813  ℝcr 9814  (,)cioo 12046  ℜcre 13685  ℑcim 13686   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  TopBasesctb 20520   Cn ccn 20838  –cn→ccncf 22487  volcvol 23039  MblFncmbf 23189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194 This theorem is referenced by:  iblabslem  23400  iblabs  23401  bddmulibl  23411
 Copyright terms: Public domain W3C validator