MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abslt 13902
Description: Absolute value and 'less than' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abslt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem abslt
StepHypRef Expression
1 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21renegcld 10336 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ∈ ℝ)
31recnd 9947 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 abscl 13866 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6 simplr 788 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 leabs 13887 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
9 absneg 13865 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
103, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
118, 10breqtrd 4609 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
12 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
132, 5, 6, 11, 12lelttrd 10074 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → -𝐴 < 𝐵)
14 leabs 13887 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
1514ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
161, 5, 6, 15, 12lelttrd 10074 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
1713, 16jca 553 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
1817ex 449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 → (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)))
19 absor 13888 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
2019adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
21 breq1 4586 . . . . . . 7 ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 𝐵𝐴 < 𝐵))
2221biimprd 237 . . . . . 6 ((abs‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 → (abs‘𝐴) < 𝐵))
23 breq1 4586 . . . . . . 7 ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐴 < 𝐵))
2423biimprd 237 . . . . . 6 ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (-𝐴 < 𝐵 → (abs‘𝐴) < 𝐵))
2522, 24jaoa 531 . . . . 5 (((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ -𝐴 < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵))
2625ancomsd 469 . . . 4 (((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴) → ((-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵))
2720, 26syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵))
2818, 27impbid 201 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵)))
29 ltnegcon1 10408 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < 𝐴))
3029anbi1d 737 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐵) ↔ (-𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
3128, 30bitrd 267 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐵 ↔ (-𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  cc 9813  cr 9814   < clt 9953  cle 9954  -cneg 10146  abscabs 13822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824
This theorem is referenced by:  absdiflt  13905  abslti  13978  absltd  14016  tanregt0  24089  argregt0  24160  efopnlem2  24203  ftc1anclem1  32655  dvasin  32666  stoweidlem7  38900
  Copyright terms: Public domain W3C validator