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Theorem ftc1anclem1 31924
Description: Lemma for ftc1anc 31932- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 22556, but this proof avoids ax-cc 8816. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem ftc1anclem1
Dummy variables  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 5979 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
21recnd 9620 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
3 id 22 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  F : A --> RR )
43feqmptd 5878 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) )
5 absf 13344 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  abs
: CC --> RR )
76feqmptd 5878 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( abs `  x
) ) )
8 fveq2 5825 . . . 4  |-  ( x  =  ( F `  t )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( F `  t )
) )
92, 4, 7, 8fmptco 6015 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( abs  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) )
109adantr 466 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) )
112abscld 13441 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  RR )
12 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) )
1311, 12fmptd 6005 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
1413adantr 466 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
15 fdm 5693 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
1615adantr 466 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  dom 
F  =  A )
17 mbfdm 22526 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1817adantl 467 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  dom 
F  e.  dom  vol )
1916, 18eqeltrrd 2507 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  A  e.  dom  vol )
20 rexr 9637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
21 elioopnf 11679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  x  <  ( abs `  ( F `  t
) ) ) ) )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  x  < 
( abs `  ( F `  t )
) ) ) )
2311biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  x  < 
( abs `  ( F `  t )
) ) ) )
2423bicomd 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  x  <  ( abs `  ( F `  t
) ) )  <->  x  <  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) )
2522, 24sylan9bbr 705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo )  <->  x  <  ( abs `  ( F `  t
) ) ) )
26 ltnle 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  RR )  -> 
( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  x ) )
2726ancoms 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  t )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  x ) )
2811, 27sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t )
)  <->  -.  ( abs `  ( F `  t
) )  <_  x
) )
29 absle 13322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  x
) ) )
301, 29sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <_  x  <->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  x
) ) )
31 renegcl 9888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR )
32 lenlt 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u x  e.  RR  /\  ( F `  t
)  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  <->  -.  ( F `  t )  <  -u x
) )
3331, 1, 32syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t )  <->  -.  ( F `  t )  <  -u x ) )
341biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( F `  t )  <  -u x  <->  ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  t )  <  -u x ) ) )
3531rexrd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR* )
36 elioomnf 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u x  e.  RR*  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `
 t )  <  -u x ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `
 t )  <  -u x ) ) )
3837bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  t
)  <  -u x )  <-> 
( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x ) ) )
3934, 38sylan9bb 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <  -u x  <->  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
) ) )
4039notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( F `  t
)  <  -u x  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
) ) )
4133, 40bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t )  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
) ) )
42 lenlt 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  x  <  ( F `
 t ) ) )
431, 42sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  x  <  ( F `  t
) ) )
441biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( x  <  ( F `  t )  <->  ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  <  ( F `  t ) ) ) )
45 elioopnf 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( F `
 t )  e.  RR  /\  x  < 
( F `  t
) ) ) )
4620, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  x  < 
( F `  t
) ) ) )
4746bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  x  <  ( F `
 t ) )  <-> 
( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) ) )
4844, 47sylan9bb 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( F `  t )  <->  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo )
) )
4948notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <  ( F `
 t )  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5043, 49bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5141, 50anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( (
-u x  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  x )  <->  ( -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
)  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5230, 51bitrd 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <_  x  <->  ( -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5352notbid 295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  -.  ( -.  ( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) ) ) )
54 elun 3549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  ( x (,) +oo ) )  <->  ( ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
)  \/  ( F `
 t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
55 oran 498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  \/  ( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) )  <->  -.  ( -.  ( F `
 t )  e.  ( -oo (,) -u x
)  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5654, 55bitri 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  ( x (,) +oo ) )  <->  -.  ( -.  ( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5753, 56syl6bbr 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5825, 28, 573bitrd 282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5958an32s 811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  /\  t  e.  A
)  ->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  ( x (,) +oo ) 
<->  ( F `  t
)  e.  ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
6059rabbidva 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( x (,) +oo ) }  =  { t  e.  A  |  ( F `
 t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) } )
6112mptpreima 5290 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) " (
x (,) +oo )
)  =  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo ) }
62 eqid 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) )
6362mptpreima 5290 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " (
( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) )  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  ( x (,) +oo ) ) }
6460, 61, 633eqtr4g 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,) +oo ) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) ) )
65 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  F : A --> RR )
6665feqmptd 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) ) )
6766cnveqd 4972 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  `' F  =  `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) )
6867imaeq1d 5129 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F "
( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) ) )
6964, 68eqtr4d 2465 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
70 imaundi 5210 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )
7169, 70syl6eq 2478 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) )
7271adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) )
73 mbfima 22530 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  e.  dom  vol )
74 mbfima 22530 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
75 unmbl 22433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7673, 74, 75syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  (
( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7776ancoms 454 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( ( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7877adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7972, 78eqeltrd 2506 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
80 abslt 13321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <  x  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
811, 80sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <  x  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
82 elioomnf 11680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8320, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8411biantrurd 510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <  x  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8584bicomd 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t )
)  <  x )  <->  ( abs `  ( F `
 t ) )  <  x ) )
8683, 85sylan9bbr 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) )
8735, 20jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u x  e.  RR*  /\  x  e.  RR* ) )
881rexrd 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  RR* )
89 elioo5 11643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u x  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( F `  t )  e.  RR* )  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
90893expa 1205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -u x  e. 
RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  ( F `
 t )  e. 
RR* )  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
9187, 88, 90syl2anr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
9281, 86, 913bitr4d 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) ) )
9392an32s 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  /\  t  e.  A
)  ->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  ( -oo (,) x
)  <->  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) ) )
9493rabbidva 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( -oo (,) x ) }  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) } )
9512mptpreima 5290 . . . . . . 7  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) " ( -oo (,) x ) )  =  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t
) )  e.  ( -oo (,) x ) }
9662mptpreima 5290 . . . . . . 7  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " ( -u x (,) x ) )  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  ( -u x (,) x ) }
9794, 95, 963eqtr4g 2487 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( -oo (,) x ) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " ( -u x (,) x ) ) )
9867imaeq1d 5129 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F "
( -u x (,) x
) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( -u x (,) x
) ) )
9997, 98eqtr4d 2465 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( -oo (,) x ) )  =  ( `' F " ( -u x (,) x ) ) )
10099adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
( -u x (,) x
) ) )
101 mbfima 22530 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e.  dom  vol )
102101ancoms 454 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e.  dom  vol )
103102adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e. 
dom  vol )
104100, 103eqeltrd 2506 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
10514, 19, 79, 104ismbf2d 22539 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn )
10610, 105eqeltrd 2506 1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {crab 2718    u. cun 3377   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   `'ccnv 4795   dom cdm 4796   "cima 4799    o. ccom 4800   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   +oocpnf 9623   -oocmnf 9624   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   -ucneg 9812   (,)cioo 11586   abscabs 13241   volcvol 22357  MblFncmbf 22514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xadd 11361  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-sum 13696  df-xmet 18906  df-met 18907  df-ovol 22358  df-vol 22360  df-mbf 22519
This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  31925  ftc1anclem4  31927  ftc1anclem5  31928  ftc1anclem6  31929  ftc1anclem8  31931
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