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Theorem ftc1anclem1 32081
Description: Lemma for ftc1anc 32089- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 22693, but this proof avoids ax-cc 8883. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem ftc1anclem1
Dummy variables  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6035 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
21recnd 9687 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
3 id 22 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  F : A --> RR )
43feqmptd 5932 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) )
5 absf 13477 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  abs
: CC --> RR )
76feqmptd 5932 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( abs `  x
) ) )
8 fveq2 5879 . . . 4  |-  ( x  =  ( F `  t )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( F `  t )
) )
92, 4, 7, 8fmptco 6072 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( abs  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) )
109adantr 472 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) )
112abscld 13575 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  RR )
12 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) )
1311, 12fmptd 6061 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
1413adantr 472 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
15 fdm 5745 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
1615adantr 472 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  dom 
F  =  A )
17 mbfdm 22663 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1817adantl 473 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  dom 
F  e.  dom  vol )
1916, 18eqeltrrd 2550 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  A  e.  dom  vol )
20 rexr 9704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
21 elioopnf 11753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  x  <  ( abs `  ( F `  t
) ) ) ) )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  x  < 
( abs `  ( F `  t )
) ) ) )
2311biantrurd 516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  x  < 
( abs `  ( F `  t )
) ) ) )
2423bicomd 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  x  <  ( abs `  ( F `  t
) ) )  <->  x  <  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) )
2522, 24sylan9bbr 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo )  <->  x  <  ( abs `  ( F `  t
) ) ) )
26 ltnle 9731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  RR )  -> 
( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  x ) )
2726ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  t )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  x ) )
2811, 27sylan 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t )
)  <->  -.  ( abs `  ( F `  t
) )  <_  x
) )
29 absle 13455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  x
) ) )
301, 29sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <_  x  <->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  x
) ) )
31 renegcl 9957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR )
32 lenlt 9730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u x  e.  RR  /\  ( F `  t
)  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  <->  -.  ( F `  t )  <  -u x
) )
3331, 1, 32syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t )  <->  -.  ( F `  t )  <  -u x ) )
341biantrurd 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( F `  t )  <  -u x  <->  ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  t )  <  -u x ) ) )
3531rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR* )
36 elioomnf 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u x  e.  RR*  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `
 t )  <  -u x ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `
 t )  <  -u x ) ) )
3837bicomd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  t
)  <  -u x )  <-> 
( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x ) ) )
3934, 38sylan9bb 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <  -u x  <->  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
) ) )
4039notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( F `  t
)  <  -u x  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
) ) )
4133, 40bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t )  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
) ) )
42 lenlt 9730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  x  <  ( F `
 t ) ) )
431, 42sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  x  <  ( F `  t
) ) )
441biantrurd 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( x  <  ( F `  t )  <->  ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  <  ( F `  t ) ) ) )
45 elioopnf 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( F `
 t )  e.  RR  /\  x  < 
( F `  t
) ) ) )
4620, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  x  < 
( F `  t
) ) ) )
4746bicomd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  x  <  ( F `
 t ) )  <-> 
( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) ) )
4844, 47sylan9bb 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( F `  t )  <->  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo )
) )
4948notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <  ( F `
 t )  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5043, 49bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5141, 50anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( (
-u x  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  x )  <->  ( -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
)  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5230, 51bitrd 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <_  x  <->  ( -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5352notbid 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  -.  ( -.  ( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) ) ) )
54 elun 3565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  ( x (,) +oo ) )  <->  ( ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
)  \/  ( F `
 t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
55 oran 504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  \/  ( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) )  <->  -.  ( -.  ( F `
 t )  e.  ( -oo (,) -u x
)  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5654, 55bitri 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  ( x (,) +oo ) )  <->  -.  ( -.  ( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5753, 56syl6bbr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5825, 28, 573bitrd 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5958an32s 821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  /\  t  e.  A
)  ->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  ( x (,) +oo ) 
<->  ( F `  t
)  e.  ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
6059rabbidva 3021 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( x (,) +oo ) }  =  { t  e.  A  |  ( F `
 t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) } )
6112mptpreima 5335 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) " (
x (,) +oo )
)  =  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo ) }
62 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) )
6362mptpreima 5335 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " (
( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) )  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  ( x (,) +oo ) ) }
6460, 61, 633eqtr4g 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,) +oo ) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) ) )
65 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  F : A --> RR )
6665feqmptd 5932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) ) )
6766cnveqd 5015 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  `' F  =  `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) )
6867imaeq1d 5173 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F "
( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) ) )
6964, 68eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
70 imaundi 5254 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )
7169, 70syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) )
7271adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) )
73 mbfima 22667 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  e.  dom  vol )
74 mbfima 22667 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
75 unmbl 22569 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7673, 74, 75syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  (
( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7776ancoms 460 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( ( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7877adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7972, 78eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
80 abslt 13454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <  x  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
811, 80sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <  x  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
82 elioomnf 11754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8320, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8411biantrurd 516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <  x  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8584bicomd 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t )
)  <  x )  <->  ( abs `  ( F `
 t ) )  <  x ) )
8683, 85sylan9bbr 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) )
8735, 20jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u x  e.  RR*  /\  x  e.  RR* ) )
881rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  RR* )
89 elioo5 11717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u x  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( F `  t )  e.  RR* )  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
90893expa 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -u x  e. 
RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  ( F `
 t )  e. 
RR* )  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
9187, 88, 90syl2anr 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
9281, 86, 913bitr4d 293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) ) )
9392an32s 821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  /\  t  e.  A
)  ->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  ( -oo (,) x
)  <->  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) ) )
9493rabbidva 3021 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( -oo (,) x ) }  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) } )
9512mptpreima 5335 . . . . . . 7  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) " ( -oo (,) x ) )  =  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t
) )  e.  ( -oo (,) x ) }
9662mptpreima 5335 . . . . . . 7  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " ( -u x (,) x ) )  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  ( -u x (,) x ) }
9794, 95, 963eqtr4g 2530 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( -oo (,) x ) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " ( -u x (,) x ) ) )
9867imaeq1d 5173 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F "
( -u x (,) x
) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( -u x (,) x
) ) )
9997, 98eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( -oo (,) x ) )  =  ( `' F " ( -u x (,) x ) ) )
10099adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
( -u x (,) x
) ) )
101 mbfima 22667 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e.  dom  vol )
102101ancoms 460 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e.  dom  vol )
103102adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e. 
dom  vol )
104100, 103eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
10514, 19, 79, 104ismbf2d 22676 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn )
10610, 105eqeltrd 2549 1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {crab 2760    u. cun 3388   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   -ucneg 9881   (,)cioo 11660   abscabs 13374   volcvol 22493  MblFncmbf 22651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656
This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  32082  ftc1anclem4  32084  ftc1anclem5  32085  ftc1anclem6  32086  ftc1anclem8  32088
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