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Theorem ftc1anclem1 29943
Description: Lemma for ftc1anc 29951- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 21892, but this proof avoids ax-cc 8816. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem ftc1anclem1
Dummy variables  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6020 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
21recnd 9623 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
3 id 22 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  F : A --> RR )
43feqmptd 5921 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) )
5 absf 13136 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  abs
: CC --> RR )
76feqmptd 5921 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( abs `  x
) ) )
8 fveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  ( F `  t )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( F `  t )
) )
92, 4, 7, 8fmptco 6055 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( abs  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) )
109adantr 465 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) )
112abscld 13233 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  RR )
12 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) )
1311, 12fmptd 6046 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) : A --> RR )
15 fdm 5735 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  dom 
F  =  A )
17 mbfdm 21862 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1817adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  dom 
F  e.  dom  vol )
1916, 18eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  A  e.  dom  vol )
20 rexr 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
21 elioopnf 11619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  x  <  ( abs `  ( F `  t
) ) ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  x  < 
( abs `  ( F `  t )
) ) ) )
2311biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  x  < 
( abs `  ( F `  t )
) ) ) )
2423bicomd 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  x  <  ( abs `  ( F `  t
) ) )  <->  x  <  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) )
2522, 24sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo )  <->  x  <  ( abs `  ( F `  t
) ) ) )
26 ltnle 9665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  RR )  -> 
( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  x ) )
2726ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( F `  t )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t ) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  x ) )
2811, 27sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( abs `  ( F `  t )
)  <->  -.  ( abs `  ( F `  t
) )  <_  x
) )
29 absle 13114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  x
) ) )
301, 29sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <_  x  <->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  x
) ) )
31 renegcl 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR )
32 lenlt 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u x  e.  RR  /\  ( F `  t
)  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t
)  <->  -.  ( F `  t )  <  -u x
) )
3331, 1, 32syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t )  <->  -.  ( F `  t )  <  -u x ) )
341biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( F `  t )  <  -u x  <->  ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( F `  t )  <  -u x ) ) )
3531rexrd 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR* )
36 elioomnf 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u x  e.  RR*  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `
 t )  <  -u x ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `
 t )  <  -u x ) ) )
3837bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  ( F `  t
)  <  -u x )  <-> 
( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x ) ) )
3934, 38sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <  -u x  <->  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
) ) )
4039notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( F `  t
)  <  -u x  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
) ) )
4133, 40bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u x  <_  ( F `  t )  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
) ) )
42 lenlt 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  x  <  ( F `
 t ) ) )
431, 42sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  x  <  ( F `  t
) ) )
441biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( x  <  ( F `  t )  <->  ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  <  ( F `  t ) ) ) )
45 elioopnf 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( F `
 t )  e.  RR  /\  x  < 
( F `  t
) ) ) )
4620, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( ( F `  t )  e.  RR  /\  x  < 
( F `  t
) ) ) )
4746bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( F `  t )  e.  RR  /\  x  <  ( F `
 t ) )  <-> 
( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) ) )
4844, 47sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( F `  t )  <->  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo )
) )
4948notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  <  ( F `
 t )  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5043, 49bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  <_  x  <->  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5141, 50anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( (
-u x  <_  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  x )  <->  ( -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
)  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5230, 51bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <_  x  <->  ( -.  ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5352notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  -.  ( -.  ( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) ) ) )
54 elun 3645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  ( x (,) +oo ) )  <->  ( ( F `  t )  e.  ( -oo (,) -u x
)  \/  ( F `
 t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
55 oran 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  \/  ( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) )  <->  -.  ( -.  ( F `
 t )  e.  ( -oo (,) -u x
)  /\  -.  ( F `  t )  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5654, 55bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  ( x (,) +oo ) )  <->  -.  ( -.  ( F `  t
)  e.  ( -oo (,) -u x )  /\  -.  ( F `  t
)  e.  ( x (,) +oo ) ) )
5753, 56syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  t )
)  <_  x  <->  ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5825, 28, 573bitrd 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo )  <->  ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
5958an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  /\  t  e.  A
)  ->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  ( x (,) +oo ) 
<->  ( F `  t
)  e.  ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
6059rabbidva 3104 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( x (,) +oo ) }  =  { t  e.  A  |  ( F `
 t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) } )
6112mptpreima 5500 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) " (
x (,) +oo )
)  =  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( x (,) +oo ) }
62 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) )
6362mptpreima 5500 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " (
( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) )  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  ( ( -oo (,) -u x )  u.  ( x (,) +oo ) ) }
6460, 61, 633eqtr4g 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,) +oo ) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) ) )
65 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  F : A --> RR )
6665feqmptd 5921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  F  =  ( t  e.  A  |->  ( F `
 t ) ) )
6766cnveqd 5178 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  `' F  =  `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) )
6867imaeq1d 5336 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F "
( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( ( -oo (,) -u x )  u.  (
x (,) +oo )
) ) )
6964, 68eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) ) )
70 imaundi 5418 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( ( -oo (,) -u x
)  u.  ( x (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )
7169, 70syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) )
7271adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( x (,) +oo ) )  =  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) )
73 mbfima 21866 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  e.  dom  vol )
74 mbfima 21866 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
75 unmbl 21775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7673, 74, 75syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  (
( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7776ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( ( `' F "
( -oo (,) -u x
) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
7877adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) )  u.  ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
7972, 78eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
80 abslt 13113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <  x  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
811, 80sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  <  x  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
82 elioomnf 11620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8320, 82syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8411biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( abs `  ( F `  t )
)  <  x  <->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) ) )
8584bicomd 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  t )
)  <  x )  <->  ( abs `  ( F `
 t ) )  <  x ) )
8683, 85sylan9bbr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( abs `  ( F `  t
) )  <  x
) )
8735, 20jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u x  e.  RR*  /\  x  e.  RR* ) )
881rexrd 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t
)  e.  RR* )
89 elioo5 11583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u x  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( F `  t )  e.  RR* )  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
90893expa 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -u x  e. 
RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  ( F `
 t )  e. 
RR* )  ->  (
( F `  t
)  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
9187, 88, 90syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  t )  e.  ( -u x (,) x )  <->  ( -u x  <  ( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <  x
) ) )
9281, 86, 913bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  t  e.  A
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( -oo (,) x )  <->  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) ) )
9392an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  /\  t  e.  A
)  ->  ( ( abs `  ( F `  t ) )  e.  ( -oo (,) x
)  <->  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) ) )
9493rabbidva 3104 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t )
)  e.  ( -oo (,) x ) }  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  (
-u x (,) x
) } )
9512mptpreima 5500 . . . . . . 7  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t )
) ) " ( -oo (,) x ) )  =  { t  e.  A  |  ( abs `  ( F `  t
) )  e.  ( -oo (,) x ) }
9662mptpreima 5500 . . . . . . 7  |-  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " ( -u x (,) x ) )  =  { t  e.  A  |  ( F `  t )  e.  ( -u x (,) x ) }
9794, 95, 963eqtr4g 2533 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( -oo (,) x ) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t
) ) " ( -u x (,) x ) ) )
9867imaeq1d 5336 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F "
( -u x (,) x
) )  =  ( `' ( t  e.  A  |->  ( F `  t ) ) "
( -u x (,) x
) ) )
9997, 98eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `  t
) ) ) "
( -oo (,) x ) )  =  ( `' F " ( -u x (,) x ) ) )
10099adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
( -u x (,) x
) ) )
101 mbfima 21866 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e.  dom  vol )
102101ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e.  dom  vol )
103102adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u x (,) x ) )  e. 
dom  vol )
104100, 103eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) ) " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
10514, 19, 79, 104ismbf2d 21875 . 2  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( t  e.  A  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) )  e. MblFn )
10610, 105eqeltrd 2555 1  |-  ( ( F : A --> RR  /\  F  e. MblFn )  ->  ( abs  o.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818    u. cun 3474   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   +oocpnf 9626   -oocmnf 9627   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630   -ucneg 9807   (,)cioo 11530   abscabs 13033   volcvol 21702  MblFncmbf 21850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11320  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-xmet 18223  df-met 18224  df-ovol 21703  df-vol 21704  df-mbf 21855
This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  29944  ftc1anclem4  29946  ftc1anclem5  29947  ftc1anclem6  29948  ftc1anclem8  29950
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