MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcld Structured version   Unicode version

Theorem imcld 13226
Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
imcld  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem imcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 imcl 13142 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1867   ` cfv 5592   CCcc 9526   RRcr 9527   Imcim 13129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-2 10657  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132
This theorem is referenced by:  rlimrecl  13611  resincl  14161  sin01bnd  14206  recld2  21769  mbfeqa  22506  mbfss  22509  mbfmulc2re  22511  mbfadd  22524  mbfmulc2  22526  mbflim  22533  mbfmul  22591  iblcn  22663  itgcnval  22664  itgre  22665  itgim  22666  iblneg  22667  itgneg  22668  ibladd  22685  itgadd  22689  iblabs  22693  itgmulc2  22698  aaliou2b  23201  efif1olem3  23397  eff1olem  23401  logimclad  23426  abslogimle  23427  logrnaddcl  23428  lognegb  23443  logcj  23459  efiarg  23460  cosargd  23461  argregt0  23463  argrege0  23464  argimgt0  23465  argimlt0  23466  logimul  23467  abslogle  23471  tanarg  23472  logcnlem2  23492  logcnlem3  23493  logcnlem4  23494  logcnlem5  23495  logcn  23496  dvloglem  23497  logf1o2  23499  efopnlem1  23505  efopnlem2  23506  cxpsqrtlem  23551  abscxpbnd  23597  ang180lem2  23643  lawcos  23649  isosctrlem1  23651  isosctrlem2  23652  asinneg  23716  asinsinlem  23721  atanlogaddlem  23743  atanlogsublem  23745  atanlogsub  23746  basellem3  23911  sqsscirc2  28595  ibladdnc  31747  itgaddnc  31750  iblabsnc  31754  iblmulc2nc  31755  itgmulc2nc  31758  bddiblnc  31760  ftc1anclem2  31766  ftc1anclem6  31770  ftc1anclem8  31772  cntotbnd  31876  isosctrlem1ALT  37019  dstregt0  37148  sigarim  37908
  Copyright terms: Public domain W3C validator