MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcld Unicode version

Theorem imcld 11955
Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
imcld  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem imcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 imcl 11871 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   ` cfv 5413   CCcc 8944   RRcr 8945   Imcim 11858
This theorem is referenced by:  rlimrecl  12329  resincl  12696  sin01bnd  12741  recld2  18798  mbfeqa  19488  mbfss  19491  mbfmulc2re  19493  mbfadd  19506  mbfmulc2  19508  mbflim  19513  mbfmul  19571  iblcn  19643  itgcnval  19644  itgre  19645  itgim  19646  iblneg  19647  itgneg  19648  ibladd  19665  itgadd  19669  iblabs  19673  itgmulc2  19678  aaliou2b  20211  efif1olem3  20399  eff1olem  20403  logimclad  20423  abslogimle  20424  logrnaddcl  20425  lognegb  20437  logcj  20454  efiarg  20455  cosargd  20456  argregt0  20458  argrege0  20459  argimgt0  20460  argimlt0  20461  logimul  20462  abslogle  20466  tanarg  20467  logcnlem2  20487  logcnlem3  20488  logcnlem4  20489  logcnlem5  20490  logcn  20491  dvloglem  20492  logf1o2  20494  efopnlem1  20500  efopnlem2  20501  cxpsqrlem  20546  abscxpbnd  20590  ang180lem2  20605  lawcos  20611  isosctrlem1  20615  isosctrlem2  20616  asinneg  20679  asinsinlem  20684  atanlogaddlem  20706  atanlogsublem  20708  atanlogsub  20709  basellem3  20818  sqsscirc2  24260  ibladdnc  26161  itgaddnc  26164  iblabsnc  26168  iblmulc2nc  26169  itgmulc2nc  26172  bddiblnc  26174  cntotbnd  26395  sigarim  27708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861
  Copyright terms: Public domain W3C validator