MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcld Structured version   Unicode version

Theorem imcld 12680
Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
imcld  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem imcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 imcl 12596 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761   ` cfv 5415   CCcc 9276   RRcr 9277   Imcim 12583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-2 10376  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586
This theorem is referenced by:  rlimrecl  13054  resincl  13420  sin01bnd  13465  recld2  20350  mbfeqa  21080  mbfss  21083  mbfmulc2re  21085  mbfadd  21098  mbfmulc2  21100  mbflim  21105  mbfmul  21163  iblcn  21235  itgcnval  21236  itgre  21237  itgim  21238  iblneg  21239  itgneg  21240  ibladd  21257  itgadd  21261  iblabs  21265  itgmulc2  21270  aaliou2b  21766  efif1olem3  21959  eff1olem  21963  logimclad  21983  abslogimle  21984  logrnaddcl  21985  lognegb  21997  logcj  22014  efiarg  22015  cosargd  22016  argregt0  22018  argrege0  22019  argimgt0  22020  argimlt0  22021  logimul  22022  abslogle  22026  tanarg  22027  logcnlem2  22047  logcnlem3  22048  logcnlem4  22049  logcnlem5  22050  logcn  22051  dvloglem  22052  logf1o2  22054  efopnlem1  22060  efopnlem2  22061  cxpsqrlem  22106  abscxpbnd  22150  ang180lem2  22165  lawcos  22171  isosctrlem1  22175  isosctrlem2  22176  asinneg  22240  asinsinlem  22245  atanlogaddlem  22267  atanlogsublem  22269  atanlogsub  22270  basellem3  22379  sqsscirc2  26275  ibladdnc  28374  itgaddnc  28377  iblabsnc  28381  iblmulc2nc  28382  itgmulc2nc  28385  bddiblnc  28387  ftc1anclem2  28393  ftc1anclem6  28397  ftc1anclem8  28399  cntotbnd  28620  sigarim  29812  isosctrlem1ALT  31504
  Copyright terms: Public domain W3C validator