MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcld Structured version   Unicode version

Theorem imcld 12994
Description: The imaginary part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
imcld  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem imcld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 imcl 12910 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ` cfv 5588   CCcc 9491   RRcr 9492   Imcim 12897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-2 10595  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900
This theorem is referenced by:  rlimrecl  13369  resincl  13739  sin01bnd  13784  recld2  21146  mbfeqa  21877  mbfss  21880  mbfmulc2re  21882  mbfadd  21895  mbfmulc2  21897  mbflim  21902  mbfmul  21960  iblcn  22032  itgcnval  22033  itgre  22034  itgim  22035  iblneg  22036  itgneg  22037  ibladd  22054  itgadd  22058  iblabs  22062  itgmulc2  22067  aaliou2b  22563  efif1olem3  22756  eff1olem  22760  logimclad  22785  abslogimle  22786  logrnaddcl  22787  lognegb  22799  logcj  22816  efiarg  22817  cosargd  22818  argregt0  22820  argrege0  22821  argimgt0  22822  argimlt0  22823  logimul  22824  abslogle  22828  tanarg  22829  logcnlem2  22849  logcnlem3  22850  logcnlem4  22851  logcnlem5  22852  logcn  22853  dvloglem  22854  logf1o2  22856  efopnlem1  22862  efopnlem2  22863  cxpsqrtlem  22908  abscxpbnd  22952  ang180lem2  22967  lawcos  22973  isosctrlem1  22977  isosctrlem2  22978  asinneg  23042  asinsinlem  23047  atanlogaddlem  23069  atanlogsublem  23071  atanlogsub  23072  basellem3  23181  sqsscirc2  27642  ibladdnc  29925  itgaddnc  29928  iblabsnc  29932  iblmulc2nc  29933  itgmulc2nc  29936  bddiblnc  29938  ftc1anclem2  29944  ftc1anclem6  29948  ftc1anclem8  29950  cntotbnd  30122  dstregt0  31267  sigarim  31762  isosctrlem1ALT  33031
  Copyright terms: Public domain W3C validator